经济数学基础讲义 第3章 导数应用

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1、第3章导数应用3.1函数的单调性从这一讲开始讲第3章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的，不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用．这一章中，主要讲导数在两方面的应用：1．导数在研究函数时的应用  2．导数在经济中的一些应用股市及股市曲线在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？生产场景及生产曲线在工业管理中，关心投入与产量之间的关系，产量随投入

2、变化的情况，何时达到最高．在下两节中就是要讨论这个问题．单调性判别下面首先讨论3.1函数的单调性．        什么叫函数的单调性？1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数工具判别单调性．先考察y=x2，它的图形是抛物线．在x>0处，函数单调上升；在x<0处，函数单调下降．当在x>0这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x轴正向的夹角一定小于9

3、0°．14当在x<0这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x轴正向的夹角一定大于90°．定理 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导.  (1)如果x(a,b)时，(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调增加；  (2)如果x(a,b)时，(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调减少．意义：利用导数的符号判别函数的单调性．说明：闭区间[a,b]换成其它区间，如(a,b)，(-,b]，(a,+)．使定理结论成立的区间，称为y=f(x)的单调区间．定理3.1 设函数y=f(x)在区间[a,b]上

4、连续，在区间(a,b)内可导．　(1)如果x(a,b)时，(x)>()0，则f(x)在[a,b]上单调增加(不减)；(2)如果x(a,b)时，(x)<()0，则f(x)在[a,b]上单调减少(不增)．“单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差别的．修改后的定理3.1如下：14定理3.1设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导.(1)如果x(a,b)时，(x) 0

5、，则f(x)在[a,b]上单调不减；(2)如果x(a,b)时，(x) 0，则f(x)在[a,b]上单调不增．由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明． 结论：若，，则．证：既单调不增又单调不减例1判别y=x3+1的单调性．[分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定理3.1后，就可以用导数来判断．解： 定义域为(-,+)(x)=3x2>0，x(-,+)，且x0y在(-,+)上单调增加．从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的．例2求y=2x3-9x2+12x-6的单调区间.[分

6、析]首先求出定义域，再利用定理3.1（利用导数作为工具）判断该函数在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于0，在哪个范围内导数小于0．因此，要求出使导数等于0的点（分界点），再作判断．解： 定义域为(-,+), =6x2-18x+12；x2-3x+2=0(x–1)(x–2)=0；x1=1,x2=2单调增加区间为(-,1]，[2，+)；单调减少区间为[1，2]．14在右图形中x1=1,x2=2是分界点，在区间(-,1]内，函数是单调增加的；而在区间[1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+)内，函数是

7、单调增加的．例3 求的单调区间.解： 定义域为(-,-1)，(-1，+), 单调增加区间为(-,-1)，(-1，+)从图形中看出，该函数确实在整个定义域内是单调增加的．归纳：求函数单调区间的步骤：①确定的定义域；②求(x)=0和(x)不存在的点，并组成若干子区间；③确定(x)在每个子区间内的符号，求出f(x)的单调区间．例4当x>0时，试证ln(1+x)>x-x2.  14[分析]先建立一个函数F(x)，将问题转化为函数单调性讨论的问题；再利用导数判断F(x)的单调增加性，得到要证明的结论．证：F(x)=ln(1+x)–(x-

8、x2)  F(x)单调增加．又F(0)=0，故当x>0时，F(x)>0；即 ln(1+x)>x-x2．3.2函数极值3.2.1函数极值及其求法首先要明确什么叫函数极值，先看定义：定义3.1 设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点x(xx0)，恒有f(