《初等数论》模拟试卷

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1、浙江师范大学《初等数论》考试卷（G卷）一、填空（30分）1、d（1001）=6。σ（2002）=40322、有解的充要条件是。3、不能表示成5X+6Y（X、Y非负）的最大整数为19。4、2003！中末尾连续有499个零。5、（21a+4，14a+3）=1。6、通解为。7、两个素数的和是39，这两个素数是2、37。8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有77。9、p,q是小于是100的素数，pq-1=x为奇数，则x的最大值是193。二、解同余方程组（12分）由孙子定理得三、证明费尔马定理。（10分）四、明：设ｄ是自然数ｎ的正

2、因子，则有（10分）答、设d是n的因子，则也是n的因子，而n的因子数为d（n）所以，所以即有五、Ｐ为奇素数，则有（10分）答、由费尔马小定理知对一切整数有ap≡a（p）bp≡b(P)，由同余性质知有ap+bp≡a+b(p)又由费尔马小定理有（a+b）p≡a+b(p)（a+b）p≡ap+bp(p)六、用初等方法解不定方程。（10分）答：由题意知x为偶数，设，则有即有由499为素数有两因子只能取，从而得七、解不定方程式15x+25y=-100.(8分)答：八、请用1到9这九个数中的六个（不重复）写出一个最大的能被6整除的六位数（10分）

3、答：987654浙江师范大学《初等数论》考试卷（A卷）一、填空（30分）1、d（1000）=16(2的3次*5的3次。φ（1000）=2340[（2∧4-1）]/(2-1)*[(5^4-1)]/(5-1)。()=__1____。2、ax+bY=c有解的充要条件是(a,b)/c。3、被3除后余数为1。4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X—2Y+3Z]可能的值为3，4，5，6，7，8，9，10，11。5、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）=。6、高斯互反律是，p，q为奇素数。7、两个素数的和为31，则这两个素数是2和29。8、带余除

4、法定理是a和b是整数，b>=0,则存在唯一的整数，使得a=b*q+r,0=

5、z）是一组正整数解，则有x是3的倍数，设x=3x1,又得到y为3的倍数，设,又有，则有解且z>z1这样可以一直进行下去，z>z1>z2>z3>z4>…但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾。浙江师范大学《初等数论》考试卷（B卷）五、填空（30分）1、d（37）=2。σ（37）=38。2、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）=。3、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为7。4、7在2004！中的最高幂指数是331。5、（1501，300）=1。6、有解的充要条件是。7、威尔逊定理是P为素数，。8、写出6的一个绝对值最小的简化系1

6、，5。9、被7除后的余数为5。一、解同余方程组（12分）答：二、证明当是奇数时，有.（10分）答：证明：因为,所以.于是,当是奇数时,我们可以令.从而有,即.三、如果整系数的二次三项式时的值都是奇数，证明没有整数根（8分）答、由条件可得c为奇数，b为偶数如果p（x）=0有根q，若q为偶数，则有为奇数，而p（q）=0为偶数，不可能，若q为奇数，则有为奇数，而p（q）=0为偶数，也不可能，所以没有整数根四、解方程.（10分）解因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程.我们再解不定方程,得到一解(2

7、1,7).因此同余式的3个解为,,七、证明：用算术基本定理证明是无理数。（10分）答：假设是有理数，则存在二个正整数p，q，使得=，由对数定义可得有3=,则同一个数左边含奇数个因子，右边含偶数个因子，与算术基本定理矛盾。∴为无理数。八、证明：对任何正整数ｎ,若ｎ不能被4整除，则有　5

8、（10分）答：则题意知n=4q+r，r=1，2，3。因为=1,i=1,2,3,4所以有当r=1时有当r=2时有当r=3时有从而证明了结论。七、解不定方程（10分）答：由观察得有特解x=0，y=2所以方程的解为浙江师范大学《初等数论》考试卷（C卷）八、填

9、空（30分）1、d（31）=2。σ（3600）=29。2、四位数被9整除，则A=7。3、17X+2Y=3通解为。4、费尔马大定理是无正整数解。5、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数5，25，35，55。6、=0．6。7、化为分