2008年全国第五届研究生数学建模竞赛优秀论文 -汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题

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1、2008年全国第五届研究生数学建模竞赛优秀论文-汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题全国第五届研究生数学建模竞赛题目汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题研究摘要：本文首先根据库容量和水位高程的变化关系建立了一个库容量计算模型，得出库容量和水位高程符合指数关系，再根据降水量和水位高程变化的关系建立了降水量模型，分析了降水量对堰塞湖水位的影响，并给出了50%、80%、100%、150%各种降水情形下的水位变化。然后利用新闻媒体搜集的数据建立了一个逐渐溃坝模型，该模型包括溃口计算模型，水流量计算模型和库容计算模型，包含了溃

2、口宽度、深度、水流速度、水量、水位高程，时间等变量，并根据该模型计算了唐家山堰塞湖发生漫顶逐渐溃坝时的各种变量的数据。根据河道内质量守恒定律和能量守恒定律，在假设河道分段逐渐变化的前提下推导得到了溃坝推演模型，并给出了模型的离散形式，在已知河道信息和溃坝处信息情况下的迭代推算方法，并将溃坝推演模型用来推测唐家山发生1/3溃坝时的水流速度变化和水面高度变化，并提示了可能被洪水淹没的地区。最后根据本文中的模型分析了当时采取的政策和方案，并提出了我们的建议。参赛队号清华大学参赛队一、问题的提出2008年5月12

3、日14：28在我国四川汶川地区发生了8.0级特大地震，给人民生命财产和国民经济造成了极大的损失。地震引发的次生灾害也相当严重，特别是地震造成的34处高悬于灾区人民头上的堰塞湖，对下游人民的生命财产和国家建设构成巨大威胁。加强对震后次生灾害规律的研究，为国家抗震救灾提供更有力的科学支撑是科技工作者义不容辞的责任。唐家山堰塞湖是汶川大地震后山体滑坡后阻塞河道形成的最大堰塞湖，位于涧河上游距北川县城6公里处，是北川灾区面积最大、危险最大的堰塞湖，其堰塞体沿河流方向长约803米，横河最大宽约611米，顶部面积约为

4、30万平方米，主要由石头和山坡风化土组成。由于唐家山堰塞湖集雨面积大、水位上涨快、地质结构差，溃坝的可能性极大，从最终的实际情况看，从坝顶溢出而溃坝的可能性比其它原因溃坝的可能性大得多。经过专家分析，采取有效措施，最终完成了唐家山堰塞湖的成功泄洪。当时的科技工作者记录了大量的珍贵数据，新闻媒体也对唐家山堰塞湖进展情况进行了及时的报道，通过对这些数据的收集（由于数据来源不同，数据有些冲突，以新华社报道的相关数据为准），我们对堰塞湖及其泄洪规律进行了初步研究，完成以下工作：1.建立唐家山堰塞湖以水位高程为自变

5、量的蓄水量的数学模型，并以该地区天气预报的降雨情况的50%，80%，100%，150%为实际降雨量预计自5月25日起至6月12日堰塞湖水位每日上升的高度(不计及泄洪)。（由于问题的难度和实际情况的复杂性及安全方面的考虑，没有充分追求模型的精度，以下同）；2.唐家山堰塞湖泄洪时科技人员记录下了大量宝贵的数据。我们在合理的假设下，利用这些数据建立堰塞湖蓄水漫顶后在水流作用下发生溃坝的数学模型，模型中包含缺口宽度、深度、水流速度、水量、水位高程，时间等变量。3.根据数字地图，给出坝体发生溃塌造成堰塞湖内1/3的

6、蓄水突然下泻时（实际上没有发生）的洪水水流速度及淹没区域（包括洪水到达各地的时间），并在此基础上考虑洪水淹没区域中人口密集区域的人员撤离方案。4.根据我们所建立的数学模型分析当时所采取对策的正确性和改进的可能性。讨论应对地震后次生山地灾害(不限堰塞湖)，科技工作中应该设法解决的关键问题，并提出有关建议。2二、符号说明W：堰塞湖内蓄水量，即总库容，单位：亿立方米H(t)：坝前水位高程，单位：米Hb0：堰塞湖底部高程，常数?667.4米hL(t)：堰塞湖内水深，单位：米R(t)：堰塞湖每天的新增水量，单位：亿

7、立方米J(t)：第t天的降雨量，单位：毫米b(t)：泄流槽的宽度，单位：米QIN(t)：t时刻的单位入湖流量，单位：立方米/秒QOUT(t)：t时刻的单位泄流量，单位：立方米/秒TOP3三、模型的建立与求解1．总蓄水量与坝前水位高程的数学模型1.1一般模型一般情况下，在截面积规则的情况下，蓄水量可用水深的二次方或三次方来进行描述，但由于唐家山堰塞湖湖体结构复杂，其蓄水量不能用其水深的二次方或三次方进行简单描述。根据报道中搜集的所有数据，可以基本确定总蓄水量W与水深hL存在指数关系，假定：W?ahLn(1.

8、1)其中，a与n为库容特性系数。根据新华社报道“唐家山堰塞湖坝顶高程750.2米，坝高82.8米”，可以假设堰塞湖的底部高程Hb0?750.2?82.8?667.4米，从而可以得出湖内水深与坝前水位高程H的关系为：hL?H?Hb0（1.2）由方程（1.1）、（1.2）联立可以得出总蓄水量与坝前水位高程的数学模型为：W?a(H?Hb0)n（1.3）将方程（1.3）两边取对数，方程变换为：ln(W)?ln(a)?n?ln(H?Hb