2015年北京高考数学(理)试题

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1、2015年北京高考数学(理科)真题本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数A.B.C.D.2.若,满足则的最大值为A.0B.1C.D.23.执行如图所示的程序框图,输出的结果为A.B.C.D.4.设,是两个不同的平面,是直线且.“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5/65.某三棱锥的三视图如

2、图所示,则该三棱锥的表面积是A.B.C.D.56.设是等差数列.下列结论中正确的是A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则7.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是A.B.C.D.5/68.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油第二部分(非选择题

3、 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.在的展开式中,的系数为.(用数字作答)10.已知双曲线的一条渐近线为,则.11.在极坐标系中,点到直线的距离为.12.在中,,,,则.13.在中,点,满足,.若,则;.14.设函数①若,则的最小值为;5/6②若恰有2个零点,则实数的取值范围是.三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题13分)已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在区间上的最小值.16.(本小题13分),两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:组:10,11

4、,12,13,14,15,16组:12,13,15,16,17,14,假设所有病人的康复时间互相独立,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙.(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率;(Ⅱ)如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(Ⅲ)当为何值时,,两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)5/617.(本小题14分)如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,,,,为的中点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)若平面,求的值.18.(本小题13分)已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求证:当时,;(Ⅲ)设实数使得

5、对恒成立,求的最大值.5/619.(本小题14分)已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.20.(本小题13分)已知数列满足:,,且.记集合.(Ⅰ)若,写出集合的所有元素;(Ⅱ)若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;(Ⅲ)求集合的元素个数的最大值.(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)5/6

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