2018版考前三个月高考数学理科总复习压轴小题突破练3：与立体几何有关的压轴小题（含解析）

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1、3.与立体几何有关的压轴小题1.(2017届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为(　　)A.＋4B.C.＋4D.π＋答案　D解析　由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD为圆柱的轴截面，顶点P在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P在AB上的射影为底面的圆心O.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，故其体积V1＝πr2h＝π×12×2＝π；四棱锥的底面ABCD为边长为2的正方形，PO⊥底面ABCD，且PO＝r＝1.故其体积V2＝S正方形ABCD×PO＝×22×1＝.故该几何体的

2、体积V＝V1＋V2＝π＋.2.如图，正四面体D－ABC的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是(　　)A.O－ABC是正三棱锥B.直线OB与平面ACD相交C.直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为D.异面直线AB和CD所成的角是90°答案　C解析　①如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA，OB，OC两两垂直，∴OA⊥平面OBC，∴OA⊥BC.过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，可知BC⊥AM，∴M为BC的中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB的中点，∴N为底面△ABC的中心，∴O－ABC是正三棱锥，

3、故A正确；②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行，则B正确；③由图可知：直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为，则C错误；④异面直线AB和CD所成角是90°，故D正确.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为CD的中点，F为线段CE(端点除外)上一动点.现将△DAF沿AF折起，使得平面ABD⊥平面ABC.设直线FD与平面ABCF所成角为θ，则sinθ的最大值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　如图，在矩形ABCD中，过点D作AF的垂线交AF于点O，交AB于点M.设CF＝x(0＜x＜1)，AM＝t，由△DAM∽△FDA，得＝，即有t＝，由

4、0＜x＜1，得＜t＜1.在翻折后的几何体中，∵AF⊥OD，AF⊥OM，∴AF⊥平面ODM，从而平面ODM⊥平面ABC，又平面ABD⊥平面ABC，则DM⊥平面ABC，连接MF，则∠MFD是直线FD与平面ABCF所成角，即∠MFD＝θ，而DM＝，DF＝2－x＝，则sinθ＝＝t＝，由于＜t2＜1，则当t2＝时，sinθ取到最大值，其最大值为.4.(2017届广东阶段测评)如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′－BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)A.3πB.πC.

5、4πD.π答案　A解析　由图示可得BD＝A′C＝，BC＝，△DBC与△A′BC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A′，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S＝4π×2＝3π.5.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)A.2B.1C.D.答案　C解析　∵球心在面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，底面外接圆圆心N位于BC的中点处，△A1B1C1外心M在B1C1中点上，设正方形BCC1B1的边

6、长为x，在Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1，∴2＋2＝1，即x＝，则AB＝AC＝1，∴＝×1＝.6.(2017·河北衡水中学四调)在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD体积的最大值是(　　)A.36B.12C.24D.18答案　B解析　∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD＝∠MPC，∴△PAD∽△PMC，∵AD＝2MC，∴PD＝2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设

7、D(0，0)，C(6，0)，C1(6，6)，设P(x，y)，∵PD＝2PC，∴＝2，化简得(x－8)2＋y2＝16(0≤x≤6)，该圆与CC1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6，2)，三棱锥P－BCD的底面BCD的面积为18，要使三棱锥P－BCD的体积最大，只需高最大，当P点坐标为(6，2)时，CP＝2，棱锥的高最大，此时三棱锥P－BCD的体积V＝×18×2＝12，故选B.7.(2017届福建厦门双十中学期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A