同伦摄动稀疏正则化方法及其在

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1、同伦摄动稀疏正则化方法及其在初始地形地貌重构中的应用摘要：稀疏正则化方法在参数重构中起到了越来越重要的作用。与传统的正则化方法相比，稀疏正则化方法能较好地重构稀疏变量。由于稀疏正则化的不可微性，需要对已有的经典算法进行改进。本文构建同伦摄动稀疏正则化方法克服标准稀疏正则化的不可微性，并应用该方法应用到项目问题中，能够有效地重构山体初始表面。数值实验表明，所提出的方法是收敛和稳定的。关键词：稀疏正则化；同伦摄动稀疏正则化方法；参数重构；重构山体初始表面1.引言参数重构在许多应用中起到重要作用，如波动率和

2、政策参数重构[1,2]，在其他工程实践领域也有重要的应用，例如：图像去噪[3,4]，地震信号重构[5,6]以及心电信号重构[7,8]。一般情况下，参数重构问题是不适定的，也就是说，即使测量数据的噪声水平很小，也可能导致重构结果严重偏离真实参数[9]。正则化方法主要就是为了克服参数重构的不适定性，通过选取合适的正则化方法能够抑制观测数据中误差对于参数重构的不良影响，获得较为准确的重构值。使用最为普遍的正则化方法是吉洪诺夫正规化方法，它的目标函数是由拟合项和惩罚项构成。吉洪诺夫正则化方法已被用于许多参数辨

3、识问题中，很多学者对其数值计算方法进行了研究，如Landweber方法[10]，高斯牛顿法[11]，Newton-Kaczmarz方法[12]和多尺度平滑方法[13]，这些方法能够有效地重构光滑参数。随着经济和金融理论的发展，波动率和经济政策参数的重构已经广泛应用于许多实际问题中。在实际应用中，很多需要重构的参数都是稀疏的，即参数的非零元素的数目非常有限，远远小于零元素的数目。即使重构参数稀疏程度不够，也可以利用小波和曲波变换使参数稀疏化。本文先对该方法在经济和金融领域中的应用进行研究，因为这两个领域

4、中的参数通常可以分成已知部分和未知部分。已知部分通常与已有的经济和金融政策相对应，而未知部分通过参数重构，再将结果进行经济学和金融学解释，能够为政策制定部门提供行之有效的对策建议。通过这两类问题的研究表明该方法能够应用到参数分解成已知部分和未知部分的问题中。然后再将该方法应用到较为复杂的山体表面重构问题中。传统的吉洪诺夫正则化方法对于重构稀疏参数效果很不好，而稀疏正则化方法却能较好地重构稀疏参数，但是稀疏正则化是不可微的，因此需要采用一些技巧来克服这一困难，典型的方法是Bregman迭代[14,15-

5、17]。本文构造同伦摄动稀疏正则化方法，达到提高算法精度和提高计算效率的目的。数值实验表明同伦摄动稀疏正则化方法是收敛和稳定的。2.稀疏正则化方法在实际应用中，对于光滑参数重构，吉洪诺夫正则化方法具有良好的收敛性和稳定性。但是，在稀疏参数重构时，吉洪诺夫正则化方法的重构效果很差，很难满足工程实践的要求。因此，需要采用稀疏正则化方法进行参数重构。2.1吉洪诺夫正则化方法参数重构问题可以归结为非线性算子方程(1)的形式：(1)其中，分别代表非线性算子、需要重构的参数和观测数据。在实际问题中，往往还需要考虑

6、观测数据和理想数据之间的噪音水平，即：(2)其中，分别代表真实的观测数据和噪音水平。参数重构的难点在于不适定性，很小的噪音水平也会使得重构结果严重背离真实的物理参数，从而造成结果的无意义。解决这一难点最重要的方法就是吉洪诺夫正则化方法，与之对应的吉洪诺夫正则化目标函数定义为：(3)其中，是在范数意义下的数据拟合项,是起到稳定作用的惩罚项,参数为正则化参数,该参数主要是起到平衡数据拟合项和惩罚项的作用。吉洪诺夫正则化方法主要是求解下面的优化问题.(4)最小值满足如下的欧拉方程：(5)其中，是F-导数。在

7、求解方程(5)的时候，采用的最普遍的方法是Landweber方法，该方法可以写成下面的表达式：,(6)其中，表示迭代次数。方程(6)是著名的Landweber迭代格式，该数值格式的显著优点是稳定性特别好，但是，收敛速度很慢，不适合应用到大型实际问题中。另一个重要的方法就是高斯-牛顿方法，该方法收敛速度较快，但是，不如Landweber方法稳定。本文主要是在Landweber方法基础上研究同伦摄动稀疏正则化方法，整个过程可以推广到高斯-牛顿方法上。2.2稀疏正则化方法为了能够有效地重构稀疏变量，将标准的

8、吉洪诺夫正则化方法进行改进，使得吉洪诺夫正则化目标函数转换为如下形式:,(7)其中，表示向量的非零元素的个数。近些年，由于稀疏正则化方法能够有效地重构稀疏变量，使得反问题领域学者越来越多地重视该方法在实际问题中的应用。该方法的难点在于，泛函(7)的惩罚项是不可微的，而且该问题还是NP不可解问题。为了解决NP不可解难点，采用下面的形式进行替代：,(8)其中，范数表示.在泛函(8)中,利用范数代替了原有的范数，这样的改进使得计算效率得到了显著的提高。尽管进行