第4章学案21 二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换

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1、学案21　二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝______________；(2)cos2α＝________________＝________________－1＝1－________________；(3)tan2α＝____________________(α≠＋且α≠kπ＋)．公式的逆向变换及有关变形(1)sinαcosα＝________________⇒cosα＝；(2)降幂公式：si

2、n2α＝________________，cos2α＝______________；升幂公式：1＋cosα＝______________，1－cosα＝______________；变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________.自我检测1．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为________．2．已知x∈(－，0)，cosx＝，则tan2x＝________.3．函数y＝(sinx－cosx)2－1的最小正周期为________．4.＋2的化简结果是________．5．函数f(x)＝cos2x－

3、2sinx的最小值和最大值分别为________和________．探究点一　三角函数式的化简例1　求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．变式迁移1　(2010·泰安一模)已知函数f(x)＝.(1)求f的值；(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．探究点二　三角函数式的求值-11-例2　已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin2α＋tanα－－1的值．变式迁移2　(1)已知α是第一象限角，且cosα＝，求的值．(2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．探

4、究点三　三角恒等式的证明例3　(2010·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求f(x)的解析式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．变式迁移3　求证：＝.转化与化归思想例　(14分)(2010·江西)已知函数f(x)＝sin2x＋msinsin.(1)当m＝0时，求f(x)在区间上的取值范围；(2)当tanα＝2时，f(α)＝，求m的值．-11-(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知0<α<π，3sin2α＝

5、sinα，则cos(α－π)＝______.2．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝________.3．(2011·淮安模拟)已知cos2α＝(其中α∈)，则sinα的值为________．4．若f(x)＝2tanx－，则f的值为________．5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sinB的值是________．6．(2011·镇江模拟)已知sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值是________．7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．8．若＝－，

6、则cosα＋sinα的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)化简：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；(2).10．(14分)(2010·南京一模)设函数f(x)＝sinxcosx－cosxsin－.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．-11-答案自主梳理(1)2sinαcosα　(2)cos2α－sin2α　2cos2α　2sin2α(3

7、)　(1)sin2α　(2)　　2cos2　2sin2　(sinα±cosα)2自我检测1．－解析　原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.2．－解析　∵x∈(－，0)，cosx＝，∴sinx＝－，tanx＝－，tan2x＝＝－.3．π解析　y＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x－1＝－sin2x，∴T＝π.4．－2sin4解析　原式＝＋2＝2

8、cos4

9、＋2

10、sin4－cos4

11、＝－2sin4.5．－3　解析　f(x)＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝－22＋，则

12、sinx＝－时，f(x)最大＝；sin