2017年自招和三位一体专题

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1、2017年自招与三位一体专题第六讲导数与积分在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占20%—30%。一、知识精讲一．导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限（*）存在，则称函数在点可导，并称其极限值为函数在的导数，记作。若令，则（*）式可改写为。二．导数的几何意义：函数在点的导数是曲线在点处切线的斜率。若表示这个切线与轴正向的夹角，则。三．基本求导法则：①；②，（为常数）；③；④反函数导数；⑤复合函数导数。四．基本初等函数导数公式①（为常数）；②（为任何实数）；③，，，，，；④，；⑤；⑥。五.原函数：设是定义在区间上的函数，若存

2、在函数，对任意都有，则称是的一个原函数。一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若是的一个原函数，则表示的全体原函数.[来源:Zxxk.Com]六．不定积分：设是的一个原函数，则称的全体原函数为的不定积分。记为，即。七.不定积分的性质：①；②，③，④。八．常见积分公式，，，，，，，，。九．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。竞赛题目精练【2012年江苏】12.已知为实数，，函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：.解：（1）由题设f(1)=e+1，f(2)=-ln2+1得

3、a

4、

5、+b=e+1，

6、ln2-

7、+b=-ln2+1，因为a>2，所以a>2ln2，从而a+b=e+1，且+b=+1，解得a=e，b=1...........................................................5分（2）由（1）得f(x)=

8、lnx-

9、+1.因为lnx，-在(0,+∞)上均单调递增，lne-=0.令g(x)=lnx-，所以有当x>e时，g(x)>g(e)=0，从而f(x)=lnx-+1单调递增；当0

10、间为(0,e)；单调递增区间为(e,+∞).................................15分（3）因为c>d，cd=1，所以，c>1，于是f(c)=

11、-lnc

12、+1，f(d)=f()=

13、ec+lnc

14、+1=ec+lnc+1.又因为当c>1时，ec+lnc>lnc+>

15、lnc-

16、，所以f(c)

17、式。►解答：（1）（2）练习1：若函数在区间内可导，且则的值为（）A．B．C．D．►答案：B►解答：练习2：（2000上海交大）已知在处可导，则。►答案：►解答：由导数定义知[来源:学。科。网Z。X。X。K]。例2．求函数的导数。►解答：练习3.,若,则的值等于（）A．B．C．D．►答案：D►解答：例3．函数的导数为_________________；►解答：例4．求函数的导数。►解答：。例5．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。►解答：若为偶函数令∴可导的偶函数的导函数是奇函数另证：例6．求证下列

18、不等式（1）（相减）（2）（相除）（3）►证明：（1）∴为上∴恒成立∴∴在上∴恒成立[来源:学科网ZXXK]（2）原式令∴∴∴（3）令∴∴例7．已知函数，，（1）证明：当时，恒有（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;►解答：（1）设，则=，当时，，所以函数在（0，单调递增，又在处连续，所以，即，所以。（2）设，则在（0，恒大于0，，，的根为0和即在区间（0，上，的根为0和若，则在单调递减，且，与在（0，恒大于0矛盾；若，在（0，单调递增，且，满足题设条件，所以，所以。[来源:Zxxk.Com]例8．利用导数求和：（1）；（2）。►分析：

19、这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。►解答：（1）当时，；当时，，两边都是关于的函数，求导得：即（2）∵，两边都是关于的函数，求导得。令得：，即。例9．已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数，都有；（3）记（），求数列的前项和。►解答：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；（2），=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（），（3），而，即，，

20、同理，，又∴三、真题训练1.若，则（）A．B．C．D．2.（2000上海交大）设，则（）（A）-2（B）2（C）-4（D）43.与是定义在R上的两个可