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1、2010届学士学位论文空间直线运动轨迹探讨院别、专业数学科学学院数学与应用数学(师范类)研究方向解析几何学生姓名学号指导教师姓名指导教师职称教 授2010年4月17日 空间直线运动轨迹探讨摘 要本文研究了由直线生成的曲面．首先给出了具有较为突出的几何特征的直线运动轨迹，如平面、柱面、锥面，然后着重探究了单叶双曲面和双曲抛物面也是直线运动的轨迹，通过举例，对不同的情形运用不同的建立直线运动轨迹方程的方法得到轨迹方程，如建立坐标系、消去参数、利用平面束等方法，根据轨迹方程判断直线运动的轨迹，使
2、人们对单叶双曲面和双曲抛物面是由直线生成的形象不再半信半疑．关键词：空间，直线运动，曲面，轨迹方程ExploreontheTrajectoryofSpaceLinearAbstractInthispaper,wehavestudiedthesurfacegeneratedbystraightline.Firstly,weintroducethelinearmotiontrajectorywiththemoreprominentgeometricfeatures,suchasplane,cylinder,cone,
3、thenfocusonexploringhyperboloidandhyperbolicparaboloidislinearmotiontrajectory,bywayofexample,differentsituationsusingdifferentestablishedlinearmotiontrajectoryequationmethodstogetthetrajectoryequation,suchasestablishmentofcoordinatesystem,eliminationtheparam
4、eters,usingplanebeamandsoon.Thenaccordingtothetrajectoryequation,determinethetrajectoryoflinearmotion,makepeopleonthehyperboloidandhyperbolicparaboloidgeneratedbythelinearimageisnolongerdoubtful.Keywords：space，linearmotion，surface，trajectoryequation目录引言1一、具有较
5、为突出几何特征的直线运动的轨迹1（一）柱面1（二）锥面2二、直线运动轨迹进一步探讨3（一）单叶双曲面3（二）双曲抛物面6结论9参考文献10致谢11引言同一条直线在运动的过程中,所遵循的规律不同,轨迹就呈不同的曲面.本文首先从具有较为突出几何特征的直线运动轨迹入手,再对其他的情形,运用建立坐标系、消去参数、利用平面束等方法建立直线运动的轨迹方程,根据方程判断直线运动的轨迹.一、具有较为突出几何特征的直线运动的轨迹（一）柱面定义在空间,由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面叫做柱面.如果一条直线在
6、运动过程中始终与空间的一条曲线相交且平行于某一固定的非零矢量,那么它的轨迹是柱面.显然,柱面可视为空间中一条直线当它沿着另一条曲线作平行于固定方向运动时形成的轨迹.例1.将直线绕z轴旋转,求这个旋转曲面的轨迹.解设是母线上的任意点因为z轴通过原点,所以过的纬圆方程是,(1)由于在母线上,所以又有,(2)即.由(1),(2)两式消去得所求旋转曲面的方程为11,所以这个旋转曲面的轨迹是圆柱面.（二）锥面定义在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做锥面.在空间直角坐标系下,由方程,所表示的曲面叫二次锥面
7、,其中a、b、c为任意的正常数.如果这条直线在运动过程中始终与空间的一条曲线相交且过一个定点,那么它的轨迹是锥面.显然,圆锥面可视为空间中一条直线通过一个定点,并沿着一条曲线移动时的轨迹.例2.将直线绕z轴旋转,求这个旋转曲面的轨迹.解设是母线上的任意点,因为z轴通过原点,所以过的纬圆方程是,(1)由于在母线上,所以又有,(2)即,.由(1),(2)两式消去得所求旋转曲面的方程为,所以这个旋转曲面的轨迹是圆锥面.11二、直线运动轨迹的进一步探讨（一）单叶双曲面定义在空间直角坐标系下,由方程,所表示的曲面叫单叶双曲
8、面,其中a、b、c为任意的正常数.通过对单叶双曲面的性质的研究得知,它是不可展曲面,并且可画出它的图形（图略）,令人兴奋的是它既可由椭圆或双曲线构成,又可由动直线生成.例3.设直线与为互不垂直的两条异面直线,C是与的公垂线的中点,A、B两点分别在直线,上滑动,且,求直线AB的轨迹.分析适当建立坐标系推导动直线的轨迹方程建立动直线的轨迹方程,若条件中不具体给出某些元素(如平
