解析几何中一类动态问题运算链的比较

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1、解析几何中一类动态问题运算链的比较陈志江江苏省常熟市教育局教学研究室2155001．问题的提出（图1）我们在解析几何的学习与复习过程中，经常会碰到定点、定值、最值、范围等这一类动态问题，笔者在调研中了解到，我们的学生和教师都有这样一个困惑，对于动态问题的动因，究竟如何来选择变量，到底是“设点好”还是“设直线斜率”好，不能抉择．所谓的哪种方法好，主要体现在运算的繁简方面，本文试图通过对一个典型题目的几种解法的运算链比较来找到答案，以下是研究过程，希望对大家的教学有所启发．2．试题的呈现解析几何中的动态问题在模考和高考中屡屡出现，是考查的热

2、点．下面是三个典型题目，限于篇幅，题目作了删减，仅给出每题中的一问．题1（2016年苏州高三〇模）如图1，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．题2（2011年四川高考）如图2，过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x（图2）PDCOABxy轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于点B时，求证：为定

3、值．题3（2013年苏锡常镇高三一模）如图3，已知椭圆：的左、右顶点分别为，圆（图3）上有一动点，在轴上方，，直线交椭圆于点，连结.设直线，的斜率存在且分别为，若，求的取值范围．3．学生的答题这里以题1为例进行分析，仅给出题1的学生解答情况，对题2和题3供读者仿照题1进行研究．该题入口较宽，在对学生的考查中，按引入变量的不同主要出现了以下两类五种解法：一类是设点做，如解法一、二；另一类是设直线斜率，如解法三、四、五，解答过程如下．4/4解法一设点，且，则直线PM的斜率为，则直线PM的方程为．联立化简得，解得．所以，，所以为定值．解法二设

4、点，则直线PM的方程为，令，得.所以，．所以为定值．解法三设直线的方程：，令得，即．联立化简得，解得．所以，，从而为定值．解法四设直线的方程：，联立化简得，得．所以直线的方程：，令得．所以，即为定值．解法五设直线的方程：，令得．4/4所以直线方程：，联立化简得．解得，所以．即为定值．以上五种方法，选择解法一和解法三的同学较多，采用解法二的同学其次，少数同学用解法四、五．从正确率看则采用解法二的最高，其次为解法一、三，解法四、五的正确率较低．4．运算链的比较学生对方法的选择不同和正确率的差异是否存在深层的因素，笔者分析本题各解法的思维过程

5、，给出这五种解法的运算链，并从三个方面进行比较．解法一解法二解法三解法四解法五从思维切入看，学生会首先想到解法一，设点，这是对条件“点P是直线l：y＝－2上的一个动点”的直接转化；其次会考虑解法三，因为点P的变化，带来直线PM的变化，故引入直线PM斜率k为变量，这也很自然；第三会应用解法二，点P的变化带来点M的变化，将其反过来看，也可由点M的变化带来点P的变化，这样就设来切入；最后是解法四、五，以直线BM、PB变化来体现动态，这与条件之间的思维跨度最大，很少学生这么处理．选择不同的方法也从侧面反映了学生不同的思维层次，用解法一、三的同学

6、思维比较直接，用解法二的同学思维更能变通，灵活一点，对后续运算的思考反映出思维更全面一点．从运算繁简看，解法一运算量主要体现在求点的坐标（解一个由二元一次方程和二元二次方程构成的方程组）；解法二运算量主要体现在求P点坐标（两直线方程构成方程组）4/4和最后对用表示的的式子进行消元（利用点在椭圆上）；解法三、四、五运算量统一表现为既要求P点坐标又要求点的坐标．比较一下不难发现，解法二运算过程中尽管有两个变量，但总体运算简捷，不易出错；解法一运算量稍大一点，但只求一次交点，且属常规的直线与椭圆相交情况，学生平时训练的较多，所以大部分都能比较

7、熟练的完成；解法三、四、五运算量都很大，使不少学生陷入到繁重的运算中，不能短时间内完成或运算中出错．从变量个数看，解法一引入P点横坐标m为变量，解法三引入直线PM斜率k为变量，都只引入了一个变量，比较简洁；解法二引入了两个变量，M点的横坐标和纵坐标，相对较多；解法四、五直接用了题中的或，其实没有引入额外的变量．一般我们会认为，变量越多，会带来运算越复杂，但在不同的问题中，并不都是这样（如上分析），这就需要我们因地制宜，实事求是地处理问题．5．对教学的启示5.1找准切入点，优化运算链通过对以上解法的比较，对解析几何中这类动态问题的求解，我

8、们应该注意做到找准切入点，优化运算链．也就是要把分析动因，引入恰当的变量与运算的过程联系起来思考，对运算过程的繁简有一个透视，实际上，运算的繁简主要决定于对“点在椭圆上”这一条件的转化．如果先用，则需做解交