二次函数常考知识点总结和简图作法

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1、二次函数常考知识点总结及简图作法一、函数定义与表达式1.一般式：（，，为常数，）；2.顶点式：（，，为常数，）；一般式：顶点式：（h、k）3.交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.顶点坐标注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化二、函数图像的性质——抛物线（1）开口方向——二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；当时，抛

2、物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线一般式：对称轴顶点式：x=h两根式：x=（3）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）a与b同号（即ab＞0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab＜0）对称轴在y轴右侧（4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增

3、大；当a<0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而减少；当a>0时，函数有最小值，并且当x=，；当a<0时，函数有最大值，并且当x=，；（5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）。（6）abc符号判别二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c的符号判别：4（1）a的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a＞0；当开口向下时，a＜0；（2）c的符号判别由与Y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c＞0；若交点在X轴的下方，则C＜0；（3）b的符号由对称轴

4、来确定：对称轴在Y轴的左侧，则a、b同号；若对称轴在Y轴的右侧，则a、b异号；（7）抛物线与x轴交点个数Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。这两点间的距离Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点在x轴上。Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。（当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．）（8）特殊的①二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上，则Δ=b2-4ac=0；②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上

5、或二次函数的图象关于Y轴对称，则b=0；③二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则c=0；三、平移、平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵左右平移变h,左加右减；上下平移变k，上加下减。随堂练：一、选择题：1、对于的图象下列叙述正确的是（）A的值越大，开口越大B的值越小，开口越小C的绝对值越小，开口越大D的绝对值越小，开口越小2、对称轴是x=-2的抛物线是（）A..y=-2x2-8xBy=2x2-2C.y=2(x-1)2+3D.y=2(x+1)2-33、与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（

6、）A．B．　C．D．4、二次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A．x＝4　B.x＝3C.x＝－5D.x＝－1。5、抛物线的图象过原点，则为（）A．0B．1C．－1D．±16、把二次函数配方成顶点式为（）A．B.C．D．7、直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（）A.(0，0)　B.(1，－2)　C.(0，－1)D.(－2，1)8、函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．9、抛物线则图象与轴交点为（）A．二个交点B．一个交

7、点C．无交点D．不能确定Oxy-11Oxy-1110、二次函数的图象如图所示，则，，，这四个式子中，值为正数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：1、已知抛物线，请回答以下问题：它的开口向，对称轴是直线，顶点坐标为；42、抛物线过第二、三、四象限，则0，0，0．3、抛物线可由抛物线向平移个单位得到．4、抛物线在轴上截得的线段长度是．5、抛物线，若其顶点在轴上，则．6、已知二次函数，则当时，其最大值为0．7．二次函数的值永远为负值的条件是0，0．8．已知抛物线与轴交于点A，与轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3

8、，则=，=．三、解答1、已知二次函数y=2x²-4x-6求：此函数图象的顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标2、已知抛物线与y轴交于C（0，c）点，与x轴交于B（c，0），其中c＞0，（1）求证：