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1、数学分析（上）第六章中值定理及待定型极限67第六章中值定理及待定型极限（8时）§1中值定理（3时）一．极值概念：1．极值：图解，定义(区分一般极值和严格极值.)2.可微极值点的必要条件:Th(Fermat)(证)函数的稳定点,稳定点的求法.二.微分中值定理:1.Rolle中值定理:叙述为Th1.(证)定理条件的充分但不必要性.2.Lagrange中值定理:叙述为Th2.(证)图解.用分析方法引进辅助函数,证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157.Lagrange中值定理的各种形式.关于中值点的位置.
2、系1函数在区间I上可导且为I上的常值函数.(证)系2函数和在区间I上可导且系3设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.若存在,则右导数也存在,且有(证)但是,不存在时,却未必有不存在.例如对函数虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th(导数极限定理)设函数在点的某邻域内连续,在内67可导.若极限存在,则也存在,且(证)由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.系4(导函数的介值性
3、)若函数在闭区间上可导,且(证)Th(Darboux)设函数在区间上可导且.若为介于与之间的任一实数,则设对辅助函数,应用系4的结果.(证)2.Cauchy中值定理:Th3设函数和在闭区间上连续,在开区间内可导,和在内不同时为零,又则在内至少存在一点使.证分析引出辅助函数.验证在上满足Rolle定理的条件,必有,因为否则就有.这与条件“和在内不同时为零”矛盾.Cauchy中值定理的几何意义.Ex[1]P1631—4；[4]P17849，50.67三.中值定理的简单应用:(讲1时)1.证明中值点的存在性:参阅[3]P
4、104.例1设函数在区间上连续,在内可导,则,使得.证在Cauchy中值定理中取.例2设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明:.2.证明恒等式:原理.例3证明:对,有.例4设函数和可导且又则.证明.例5设对,有,其中是正常数.则函数是常值函数.(证明).3.证明不等式:原理.参阅[3]P113.例6证明不等式:时,.例7证明不等式:对，有.4.证明方程根的存在性:[3]P110.例8证明方程在内有实根.例9证明方程在内有实根.Ex[1]P163—1645—9；[4]P17853，54.67§2不定式的极限(2时
5、)本节内容介绍较简，必须在课后参阅[4]P162—167.一.型:Th1(Hospital法则)(证)应用技巧.例1例2.例3.(作代换或利用等价无穷小代换直接计算.)例4.(Hospital法则失效的例)二.型:Th2(Hospital法则)(证略)例5.例6.註:关于当时的阶.例7.(Hospital法则失效的例)Ex[1]P172—1731⑴—⑸，2，3；[4]P176—17734⑼⑾⑿，37.三.其他待定型:.前四个是幂指型的.例867例5.例10.例11.例12.例13.例14设且求解.Ex[1]P172
6、—1731⑹—⑿，4⑹，5；[4]P17634⒀—⒆.§3Taylor公式(3时)一.问题和任务:用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度.二.Taylor(1685—1731)多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义Taylor多项式及Maclaurin多项式例1求函数在点的Taylor多项式.[1]P174.(留作阅读)67三.Taylor公式和误差估计:称为余项.称给出的定量或定性描述的式为函数的Taylor公式.1.误差的定量刻画(整体性质)——Taylor
7、中值定理:Th1设函数满足条件:ⅰ>在闭区间上有直到阶连续导数;ⅱ>在开区间内有阶导数.则对使.证[1]P175—176.称这种形式的余项为Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.Lagrange型余项还可写为.时,称上述Taylor公式为Maclaurin公式,此时余项常写为.关于Taylor公式中Lagrange型余项的进一步讨论可参阅:Alfono,G.Azpeitia,OntheLagrangeremeinderoftheTaylorfor
8、mula.Amer.Math.Monthly,89(1982).Ex[1]P1821.672.误差的定性描述(局部性质)——Peano型余项:Th2若函数在点的某邻域内具有阶导数,且存在,则,.证设,.应用Hospital法则次,并注意到存在,就有=.称为Taylor公式的Peano型余项,相应的Maclaurin公式的Peano型余项为.并称带有这种形式余
