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1、第一章矩阵代数§1.1基本概念矩阵、行列式、迹、秩、线性空间、特征值、特征向量§1.2矩阵的分块求逆设分块矩阵若，记，记，则（1）类似地，若记，则有若，则.（2），.特别（3）取，，若，则（4）取A=A11，B=A22-1，C=A12，D=A21，由得
2、A
3、≠0，
4、B
5、≠0时有特别当B=1，C=x，D=y'时（即）§1.3非负定矩阵定义1.1设A=(aij)为阶对称矩阵，若对x=(x1,x2,…,xn)'≠0有≥0则称为非负定矩阵，记为A≥0，若x'Ax>0，则称A为正定矩阵，记A>0。定理1.1正（非负）定矩阵具有如下性质(A'=
6、A)（1）A>0(≥0)A的所有特征值为正（非负）值；（2）A≥0存在B使A=BB'；A>0存在行满秩阵B，使A=BB'；（3）A≥0对任何m×n矩阵B，有BAB'≥0；A>0对任何行满秩矩阵B，有BAB'>0；（4）A>0A-1>0对任何c>0有cA>0；（5）A>0,B>0，A－B>0B-1－A-1>0，且
7、A
8、>
9、B
10、；（6）A≥0(>0)存在≥0(>0)，使A=；（7）A11>0,A22>0（带等号同样成立）,A11.2=A11－A12A22-1A21>0,A22.1=A22－A21A11-1A12>0.证明（1）（2）：见
11、（6）（3）对任何x≠0，B满秩，知，故（4）存在，（5）由知，由(3)得，，即B-1-A-1>0。对
12、A
13、>
14、B
15、的证明见§1.5.4例1.3。（6）见§1.5.1对称矩阵的谱分解。（7）见分块阵求逆。§1.4广义逆定义1.2设A为n×m阵，若存在m×n阵使ABA=A则称B为A的广义逆，记为B=A－。定理1.2任一矩阵A的广义逆存在但不唯一。证明：设A的标准形为，其中r=rank(A)，
16、P
17、≠0，
18、Q
19、≠0，则ABA=A意味着PQBPQ=PQ=T11=Ir即有A－有如下性质：（1）若
20、A
21、≠0(r=m=n)，则A－=A-1唯一；
22、（2）rank(A－)≥rank(A)；（3）rank(A)=rank(AA')=rank(A'A)=rank(AA－)=rank(A－A)=tr(AA－)=tr(A－A)∵（4）A－A和AA－都是幂等阵（由定义即知），且rank(A)=mA－A=Imrank(A)=nAA－=In（5）A'A(A'A)-A'=A'，A(A'A)-A'A=A证明：Ax=0A'Ax=0x'A'Ax=0Ax=0即Ax=0A'Ax=0同理y'A'=0y'A'A=0由定义A'A(A'A)-A'A=A'A[A'A(A'A)--I]A'A=O，A'A[A'A(A
23、'A)--I]=O[A'A(A'A)--I]A'=O，A[A'A(A'A)--I]=O-----------------------------------------------------------------------------1定义1.3设A为n×m阵，若存在m×n阵B使ABA=A,BAB=B,(AB)'=AB,(BA)'=BA则称B为A的Moore-Penrose逆(“加号逆”)，记为B=A +。定理1.3对任何矩阵A，存在唯一的Moore-Penrose逆B=A +。证明：设A的标准形为即有，rank(A)=r
24、ank(P)=rank(Q)=r。由定理1.1（2）知，，从而存在，取则ABA=PQ'Q(Q'Q)-1(P'P)-1P'PQ'=PQ'=ABAB=Q(Q'Q)-1(P'P)-1P'PQ'Q(Q'Q)-1(P'P)-1P'=Q(Q'Q)-1(P'P)-1P'=BAB=PQ'Q(Q'Q)-1(P'P)-1P'=P(P'P)-1P'对称BA=Q(Q'Q)-1(P'P)-1P'PQ'=Q(Q'Q)-1Q'对称若A1+和A2+均为A的加号逆，则A1+=A1+AA1+=A1+(AA1+)'=A1+(A1+)'A'=A1+(A1+)'(AA2+A
25、)'=A1+(AA1+)'(AA2+)'=A1+AA1+AA2+=A1+AA2+=A1+(AA2+A)A2+=(AA1+)'(A2+A)'A2+=A'(A1+)'A'(A2+)'A2+=(AA1+A)'(A2+)'A2+=A'(A2+)'A2+=(A2+A)'A2+=A2+对A=O，定义A+=O。A+有如下性质：（1）若rank(A)=n，则A+=A'(AA')-1(A=Q')⇒AA+=I右逆若rank(A)=m，则A+=(A'A)-1A'(A=P)⇒A+A=I左逆若rank(A)=n=m，则A+=A-1（2）(A+)+=A，(A'
26、)+(A+)'。（由定义）（3）(A'A)+=A+(A+)',(AA')+=(A+)'A+(A'A)[A+(A+)'](A'A)=A'(AA+)'(AA+)'A=A'(A+)'A'AA+A=A'A[A+(A+)'](A'A)[A+(A
