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《湘大版矩阵论 第三章 修改作业答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第3章1.判断下面四个矩阵，哪些是相似的。A=，B=，C=，D=.解答如下：因为A=，得=-5+8-4=所以矩阵A的特征值是=1，=2，=2，对应于=1时的一个特征向量是=对应于、的一切特征向量为=，K不等于0，所以不存在三个线性无关的特征向量，则A不能与对角矩阵相似。但是可得到A的约当标准型为从此错误,即存在P矩阵，满足,则A与J相似。因为B=，得==，所以矩阵B的特征值是=1，=2，=2，对应于=1时的一个特征向量是=，对应于、的两个线性无关的特征向量为=，=，则B可化为相似对角矩阵为.因为C=，得
2、=,所以矩阵C的特征值是=1，=2，=2，对应于=1时的一个特征向量是=，对应于、的一切特征向量为=k，k不等于0。所以C不能化为相似对角矩阵，但是可得到C的约当标准型为,此处错误即存在P矩阵，满足,则B与J相似。因为D的秩为2，与A、B、C的秩3不相同，所以D不与任何矩阵相似。综上所诉可知，A、C矩阵均和J矩阵相似，所以A和C矩阵相似。基本正确95分2、解：（1）、A的特征多项式为：==()()()因而A有三个不同的特征值：，，由于A有3个互不相同的特征值，故A可对角化，又由方程可解得对应特征值的特征
3、向量为：由方程可解得对应特征值的特征向量为：由方程可解得对应特征值的特征向量为：是属于不同特征值的特征向量，所以是线性无关的，以它们为列向量作矩阵得相似变换矩阵：并求得：故，A可与对角阵相似（2）、A的特征多项式为：==因而A的特征值为：，又由方程可解得对应特征值的一切特征向量为：由方程可解得对应特征值的一切特征向量为：所以，A不存在三个线性无关的特征向量，故A不能与对角形矩阵相似（3）、A的特征多项式为：==因而A的特征值为：，又由方程可解得对应特征值的特征向量为：由方程可解得对应特征值的特征向量为：
4、，，为两线性无关的特征向量所以为线性无关的特征向量，以它们为列向量作矩阵得相似变换矩阵：并求得：故，A可与对角形矩阵3、得求得对应的λ1=λ2=2的线性无关特征向量为，对应λ3=-1的特征向量。因此得因而有,则所以，正确100分5(1)因为(2)因为(3)因为在设解A+E=，得的基础解系为，选取，故(4)因为→→它的初级因子为，故A的约当标准型为.在设因为A-E=解得的基础解系为，选取,因为方程1和方程2是一样的，故可选择的值使下面两矩阵的秩相等：A-E=,得6、（1）设A=则A的特征多项式为：f（）=
5、==故A的最小多项式只能是：m（）=、m（）=或m（）=又因m（A）=≠0且m（A）==0便知A的最小多项式为：m（）=正确（2）设A=则A的特征多项式为：f（）===（）故A的最小多项式只能是：m（）=（）（）或m（）=f（）又因m（A）==0便知A的最小多项式为：m（）=（）（）（3）设A=则A的特征多项式为：f（）=====故A的最小多项式只能是m（）=、、又因m（A）=A≠0且m（A）=A2=0便知A的最小多项式为：m（）=正确100分，但是最好用不同的方法计算7.将下列-矩阵化为Smith标准
6、形。（1）解：（2）解：（3）解：(4)解:(5)解:90分，要分解因式8、求下列矩阵的smith标准形（1）（2）（3）解、(1)初级因子：(2)初级因子：（3）初级因子：9题：证明：根据哈密顿-开莱定理（1）即(2)在式1中如果我们令就能得到对于可逆矩阵A我们可以知道所以于是对于式2两边同时乘以得到即正确100分10.设,证明:B=2A4-12A3+19A2-29A+37E为可逆矩阵,并求A+2E的逆矩阵.证明:因A的特征多项式为,则.再取多项式,用去除可得:其中.则为可逆矩阵.正确又,即.正确10
7、0分11.若A,B均为n阶方阵,又E-AB可逆,证明:(E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A.证明:因为(E+B(E-AB)-1A)×(E-BA)=(E-BA+B(E-AB)-1A(E-BA)=E-BA+B(E-AB)-1(A-ABA)=E-BA+B(E-AB)-1(E-AB)A=E-BA+BA=E所以E-BA可逆,且(E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A正确100分12.若A满足,证明A可与对角矩阵相似。则由等式，得A的特征值一定是-2或1取则则是矩阵A的零化多项式最小多项式由矩阵A的任何零化
8、多项式都被其最小多项式所整除最小多项式必定是多项式的因子故A的最小多项式只有三种可能：或或，不论如何一定是的因子，故无重根。A一定是可以上三角化的，,其中U和W是对角元分别是-2和1上三角阵。再选取适当的[IX;0I]型的变换可以把]约化到分块对角阵。相似变换不改变极小多项式，所以等价于且。对于，直接用反证法证明可以推出U=-2E，同样W=E。从而A可与对角矩阵相似。13.答：对应于每一个特征值只有一个Jordan块。错误，没有证明。再思考
