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《湘大版矩阵论__第二章_修改作业答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.在中,设,,定义实数,判断是否为的内积.答:是内积.证明:1>,,有2>在设,则有=.而,即:3>4>综上所述,满足内积的要求.2.设A,B∈Rⁿ×ⁿ(n>1),分别定义实数如下:(1)(A,B)=aiibii;(2)(A,B)=(i+j)aijbij.判断他们是否为Rⁿ×ⁿ的内积.解:(1)不是;因为(A,A)=aiiaii=aii2≥0,(A,A)=0时,只要A主对角线上的元素为0即可,而不是A=0如A=,答案是否定的.(2)是;因为①(A,B)=(i+j)aijbij=(j+i)bijaij=(B,A)满足对称性;②∀C∈Rⁿ×ⁿ(n>1),(A+B,C)=(i+j)(ai
2、j+bij)cij=(i+j)(aijcij+bijcij)=(i+j)aijcij+(i+j)bijcij=(A,C)+(B,C)满足可加性;③∀k∈R,(kA,B)=(i+j)kaijbij=k(i+j)aijbij=k(A,B)满足齐次性;④(A,A)=(i+j)aijaij=(i+j)aij2≥0,当且仅当aij=0,即A=0时,(A,A)=0满足非负性;综上,(A,B)=(i+j)aijbij是Rⁿ×ⁿ的内积.正确1000分3.证明都是Hermite矩阵。由故都是Hermite矩阵4.解：假设设则则设又此处缺少充要条件的证明故是中的内计90分5.次数不超过2次的实多项式函数
3、空间中，对任意函数，定义：（1）证明是上的一种内积；（2）求与的内积；（3）当取何值时，与正交；（4）将基1，，在该内积下化为标准正交基。1.证明：对称性：=；可加性：则+=齐次性：==非负性：当且仅当。同理，当且仅当。由上可知是上的一种内积。2.=3.要使正交，则要有=0解得4.设，，取则==则基1，，在该内积下化为标准正交基为：；=；=6此题没改，无能为力解：设，；，，，，，；；；40分第七题解：设T1是V到V1的一个同构映射，T2是V1到V2的同构映射。T1（α+β）=T1（α）+T1（β）对于任意给定的α，β∈V；T1（kα）=kT1（α）对于任意给定的α∈V，k∈R;(T1
4、(α),T1(β))=(α,β)对于任意给定的α，β∈V；T2（r+δ）=T2（r）+T2（δ）对于任意给定的r，δ∈V1；T2（kr）=kT2（r）对于任意给定的r∈V1，k∈R;(T2(r),T2(δ))=(r,δ)对于任意给定的r，δ∈V1；不妨设：r=T1（α）；δ=T1（β）。T2（T1（α）+T1（β））=T2（T1（α））+T2（T1（β））=（T1T2）（α）+（T1T2）（β）=T2（T1（α+β））=（T1T2）（α+β）对于任意给定的α，β∈V；T2（kT1（α））=kT2（T1（α））=k（T1T2）（α）=T2（T1（kα））=（T1T2）（kα）；对于任意
5、给定的α∈V，k∈R;（T2（T1（α）），T2（T1（β）））=（T1（α），T1（β））=(α,β)=（（T1T2）（α）,（T1T2）（β））对于任意给定的α，β∈V；则T1T2为V到V2的一个同构映射，并称欧式空间V与V2同构。则传递性得证。一一对应未证明70分8、设，，，V1=span(),则V1是欧式空间R4的子空间，并求V1的正交补V1的一组基。解：因为，所以线性相关，其最大无关组为，由基扩张定理：因为不是V1的子空间，所以是欧式空间R4全空间的基将其正交化得：==T2=2=T3=3=T4=4=T则：V1的正交补V1为T，xy的取值解释的不太清楚V1的一组基为：正确90
6、分9.设x0是欧式空间V中的单位元素，定义变换=-2（，），xV，(1)验证T是线性变换；(2)验证T既是正交变换，又是对称变换；(3)验证是T的一个特征向量，并求其对应的特征值。证明：（1）由题易知T为V中的一个变换，且：=-2，，yV=-+y-=+=-，V，kR==故T是线性变换。（2）x，yV，且有=1=-2（，）=y-2（y，）此处符号改错了==--+4=故T是正交变换。又==-；==-故T是对称变换。（3）又是空间V中的单位元素，=2=(1-)=-1所以：是T的一个特征向量，其特征值为-1.基本正确98分
