2013年《数学模型及数学软件a》例题讲解

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1、得分一、填空题（每空2分，满分14分）：1、虽然数学建模所面临的问题千差万别，使用的方法灵活多样，但建模还是有规律可循的，其基本的四个步骤按逻辑顺序可以分为、、、。问题分析与假设，建立模型与求解模型，模型检验与修改，模型完善与应用；2、在市场经济需求和供应关系中，设某地区某种商品第期的市场需求量(万吨)、市场供给量(万吨)及价格（万元）等之间满足，那么该商品的供求关系是否能稳定？；均衡价格是；稳定的供求数量是。解答能稳定30万元，10万吨得分二、简答题（每小题7分，满分14分）：1、论述最小二乘法

2、原理及超定方程组概念2、简述用最小二乘法求解超定线性方程组的过程及结论。最小二乘法让(((采样的点)跟(拟合的曲线)的距离)总体和)最小.最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。超定方程组属于方程个数大于未知量个数的方程组。超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求超定方程组的最小二

3、乘解的问题。例如，如果给定的三点不在一条直线上，我们将无法得到这样一条直线，使得这条直线同时经过给定这三个点。也就是说给定的条件（限制）过于严格，导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说，就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下，求一个最接近的解。得分三、程序翻译题（每小题6分，满分12分）：将下列Matlab程序翻译成为数学模型或数学问题.1、x=0:0.6:3*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);y3=sqrt(x);

4、holdonplot(x,y1,'b-'),plot(x,y2,'r*'),plot(x,y3,'g')1、x=0:0.6:3*pi;%横坐标点列，x为区间[0,3pi]间距为0.6的等分点y1=sin(x);%正弦点列y2=cos(x);%余弦点列y3=sqrt(x);%开平方点列holdon%保持在同一坐标系plot(x,y1,'b-'),plot(x,y2,'r*'),plot(x,y3,'g')%画正弦、余弦、开平方函数图像2、c=[300;1000;300;-200];%目标函数系数A=

5、[2,3,1,0;3,4,0,0;0,0,1,0];b=[16;24;5];%不等号约束条件系数矩阵Aeq=[0,-2,1,1;1,1,1,1];beq=[0;10];%等号约束条件系数矩阵xLB=[0;0;0;0];xUB=[];%x取值范围界约束矩阵[x,min]=linprog(-c,A,b,Aeq,beq,xLB,xUB);%线性规划最小化问题求解x=x,max=-min%输出求解结果（极大点、极大值）解：数学模型是Max300x1+1000x2+300x3-200x42x1+3x2+x3

6、<=163x1+4x2<=24x3<=5-2x2+x3+x4=0x1+x2+x3+x4=10x1,x2,x3,x4>=0;附运行结果x=[1.0000;3.0000;5.0000;1.0000]max=4.6000e+003得分四、生产计划问题（10分）：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表所示。该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元。问应如何安排计划使该工厂获利最多(要求建立数学模型，用图解法求解，编写Mat

7、lab求解程序)？并再回答：为使获利更多，是否有必要追加B原料？是否有必要追加台时数？ⅠⅡ可用数量设备128台时原材料A4016kg原材料B0412kg解：设分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量，则目标函数满足约束条件……(4分)图解法解得。即最优生产方案是产量产品Ⅰ4件，Ⅱ2件，可获最大利润14元。结果表明，台时数及A原料无剩余，消耗殆尽，值得追加这些资源。而B原料仍有剩余，不必追加。……………(4分)编写求解的M程序如下:……(2分)f=[2,3];A=[1,2;4,0;0,4];b=[8;16

8、;12];Aeq=[];beq=[];vlb=zeros(2,1);vub=[];[x,fval]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);x=x,z=-fval得分五、任务分配问题（10分）：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用这两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要