固体物理学讲义3.4new

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1、§3-7局域振动前面讨论的是完整晶体的晶格振动，其本征振动模是一系列格波，每一个格波描述的是晶体中所有原子的一种集体运动，格波可以在整个晶体中传播。当晶体中存在缺陷时，就可能产生局限在缺陷附近的局部振动，其振幅随着离开缺陷的距离增大而衰减。缺陷对整个频谱的影响是有限的，但会出现局域振动模。若缺陷的质量比所代替的原子小，将会出现比原格波振动的最高频率还要大的新的模，该模称为高频模。若缺陷的质量比所代替的原子大，将会出现频率落入原来频带的局域的共振模。如果元胞中含有多种原子，由声学支频带和光学支频带之间可能存在带隙，缺陷频率可能会落入带隙中。§3-8晶格热

2、容的量子理论热容是表征物质吸收或者放出热量引起温度改变效应的宏观物理量。按经典统计理论的能量均分定理：处于温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值为kT/2。因此每一个平方项对热容的贡献为k/2。这里存在如下问题：（1）经典理论中，固体热容和温度无关，而实验表明，在低温情况下，热容随着温度的下降而趋于零。（2）平方项中只计及原子的平动动能项和振动势能项，对于电子的运动项、自旋项，双原子的转动项等均没有计及。以上这些是经典统计理论无法解释的。为了解决这一矛盾，爱因斯坦发展了普朗克的量子假说，第一次提出了量子的热容量理论，这项成就在量子

3、理论发展中占有重要地位。根据量子理论，晶格振动的能量是量子化的，频率为的振动能量为：，其中代表零点能，对比热没有贡献，在计算热容量时略去不计。利用玻耳兹曼统计：温度为T时，处于某一正则频率的振动的平均能量为：其中：因为：，则：对于含有N个原子的晶体，每个原子有3个自由度，因此晶体有3N个正则频率，平均总能量为：该求和的问题在于频率的分布情况。如果频率分布可以用一个积分函数表示，以表示角频率在和之间的格波数，表示最大角频率，则有：，因此比热为：由此可见，用量子理论求比热时，问题的关键在于任何求角频率的分布函数。对于具体晶体，的计算非常复杂。一般讨论时常采

4、用简化的爱因斯坦模型和德拜模型。（1）爱因斯坦模型认为晶体中所有原子都以相同的频率振动，所以晶体的平均能量为：，相应地：，这里：称为爱因斯坦比热函数。通常用爱因斯坦温度代替频率，定义为；，则：高温较高时：，，同经典理论。低温时：，则：讨论（1）上式表明，温度趋于零时，热容量按指数方式趋于零，但实验表明，热容量按方式趋于零，在这方面仅定性地和实验符合。（2）造成差别的原因是爱因斯坦模型过于简单。他把每个原子看成一个三维的独立的谐振子饶平衡点振动。实际上每个原子和近邻原子存在相互作用，低温情况下更为显著。晶体内原子以格波形式运动，爱因斯坦模型实质上是忽略了

5、各格波的频率差别。2、德拜模型在低温下，只有频率较低的格波对比热有重要贡献。对于长声学波，晶格可以看成连续介质，长声学波具有弹性波的性质。德拜模型的特点是：把晶格看成各向同性的连续介质，即把格波看作弹性波；假定纵波和横波的波速相等；对于每一支振动，波矢的数值在中的振动方式的数目（即格波的数目）为：对于各向同性介质中的弹性波，所以计及3种弹性波（一纵波，二横波），角频率在范围的振动方式为：则：，可以得到。同样令，则：，这里称为德拜温度。则：，相应地：这里称为德拜比热函数。讨论（1），比热趋于经典极限。（2），上面积分上限可以认为是无穷大，则有：可以看出，

6、温度越低，模型符合的越好。这是因为在非常低的温度下，只有长波的激发是主要的，对于长波，晶格是可以看作连续介质的。