第21讲三角函数值域问题的破解策略

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1、三角函数值域问题的破解策略策略1：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)1.1形如的函数,可设,,逆用和角公式得到化为一次函数型.例1：定义在R上的函数的最大值是.1.2形如的函数可先逆用倍角公式化归为例1的形式再求解.例2：已知函数.求函数的最大值.1.3形如或的的函数（式中也可以是同名函数），可先用和角公式展开，化归为例1、例2的形式求最值.例3：函数的最大值是（）A.B.C.7D.6(其中)，.例4：求函数的最小值.解:.1.4形如的函数可分离常数，利用有界性求解.例5：求函数的最大值和最

2、小值.1.5形如的函数可将看作参数，化归为例1的形式求解.例6：一条河宽1km，两岸各有一座城市与，与的直线距离为4km，今需铺设一条电缆线连接与。已知地下的电缆修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km。假定河两岸是平行的直线，问应如何铺设电缆方可使总施工费用达到最少解：设，则设总费用为万元，则现求的最小值:3即水下电缆应从距城（）km处向城铺设。1.6参数型,注意分类讨论,特别小心定义域对值域的限制.例7：函数的定义域为,值域为,求常数的值.策略2：通过换元转化为二次函数型,求一元二次函数在区间上的值域问题.2.1求形如的函数的值域可利用换元化归为一元二次函数在

3、区间上的值域问题，小心定义域对值域的限制.例8：求函数的值域.2.2求同时含有与（或）的函数的值域，一般令(或)可以化归为求在区间上的值域，要注意的取值范围.例9：当时,求函数+的最值.若呢？32.3参数形,分类讨论，注意定义域对值域的限制.例10：函数的定义域为，值域为，求常数.解;练习：1、求的最小值，并求使取最小值时的集合.2、求的值域。1、求的值域.1、若函数的最大值为1，则=2、函数的有最大值2，最小值-1，求实数的值。3、若函数的定义域为，值域为，求常数的值。4、求函数的最大值和最小值.1、求函数的值域；2、求函数的值域。1、函数的最小值是2、求函数的最大值。1、

4、函数的定义域为，值域为，求常数的值。2、函数的最大值为3，求的值。3