初中数学中整体思想的应用及解题策略(已经发表)

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1、初中数学中整体思想的应用及解题策略太公中学王咸政引例：甲、乙丙三个学生一共解出100道数学题，但每个人都只解出了其中的60道题。将其中只有1个人解出的叫做难题；将三个人都解出的题叫做容易题。求证：难题刚好比容易题多20道。分析：设难题x道，易题y道，两人做出的题z道。X＋y＋z=100①X＋3y＋2z=180②①×2－②有X=y＋20整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷

2、性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．一．数与式中的整体思想例1.已知，则的值等于（）A.B.C.D.分析：根据条件显然无法计算出，的值，只能考虑在所求代数式中构造出的形式，再整体代入求解．解：说明：本题也可以将条件变形

3、为，即，再整体代入求解．例2．已知代数式，当时，值为，则当6时，代数式的值为解：因为当时，值为，所以，即，从而，当时，原式二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例3．已知，且，则的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出，再代入肯定比较麻烦，注意到条件中是一个整体，因而我们只需求得，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：，所以，从而，解得例4．已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为为分析：如果把代入，解出，的值，再代入进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐．若采用整体思想，在方

4、程组中令，则此方程组变形为，对照第一个方程组即知，从而，容易得到第二个方程组的解为，这样就避免了求，的值，又简化了方程组，简便易操作．6解：说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例5．解方程分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设，则原方程变形为，即，解得，，所以或，从而解得，，，，经检验，，，都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方

5、程及解题过程．当然本题也可以设，将方程变形为来解．（2）利用整体换元，我们还可以解决形如这样的方程，只要设，从而将方程变形为，再转化为一元二次方程来求解．例6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲件，乙件，丙件，共需元；若购甲件，乙件，丙件，共需元．现在计划购甲、乙、丙各件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各件分别需元、元、元．依题意，得，即解关于，的二元一次方程组，可得（元）另：①×3－②×2

6、，则有……6答：购甲、乙、丙各件共需元．说明：由于我们所感兴趣的不是、、的值，而是这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果．三．函数与图象中的整体思想例7．已知和成正比例（其中、是常数）（1）求证：是的一次函数；（2）如果时，；时，，求这个函数的解析式.解：（1）因与成正比例，故可设整理可得因，、为常数，所以是的一次函数.（2）由题意可得方程组解得，.故所求的函数解析式为．说明：在解方程组时，单独解出、、是不可能的，也是不必要的．故将看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．例9．若关于的一元二

7、次方程有一根大于，一根小于，求的取值范围．分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程与二次函数联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与轴的交点坐标，一个交点在点的右边，另一个交点在点的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当时,，当时，，即，∴．说明：（1）由于当,时，，所以解答过程中不必再考虑了．（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法在之一，在数学教学中应当引起足够的重视．6四．几何与图形中的整体思想例10．如图，分

8、析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将视为一个整体，那么应与△中的外角相等，同理，分别与，的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．