若干具有非线性传染力的传染病模型的稳定性分析

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1、若干具有非线性传染力的传染病模型的稳定性分析基金项目：浙江大学科技发展基金（107000-544301）陈军杰（浙江大学数学系，浙江杭州310029）摘要：讨论了具有常数迁入和非线性传染力的三类传染病模型，即SIRI模型，SIRI框架下的DS模型及SIR框架下的DI模型。给出了它们基本再生数的表达式，证明了时无病平衡点是全局稳定的，同时证明了如果地方病平衡点存在，则必是全局稳定的结果（从而必唯一）。对第一和第三个模型还给出了时地方病平衡点的存在唯一性。关键词：传染病模型；非线性传染力；Liapunov函数；全局

2、稳定性中图分类号：O175.1MR分类号：92D30；34D23文献标识码：A0引言大多数传染病模型都假定易感类是同质人群或染病类是同类人群，因而常常忽视易感类的不同易感性或染病类的不同传染率[1-2].[1,3]讨论了具有标准传染率的SIR框架下的DS（differentialsusceptibility）模型和DI（differentialinfectivity）模型，[4]讨论了具有双线性传染率的SIR框架下的DI模型.本文则讨论具有非线性传染力的SIRI模型，SIRI框架下的DS模型和SIR框架下的DI

3、模型，这里的第一及第三个模型可分别视为[5]及[4]相应模型的拓展，具有非线性传染力的传染病模型的研究意义及近期文献可看[5-8].1SIRI模型及定性分析把人群分成三类，即易感类，染病类，恢复类（或潜病类），他们的人数分别记为和（均为时间t的函数），于是，总人口为.[5]在总人口不变的前提下建立和分析了具有非线性传染力的SIRI模型，如果我们让总人口变化，则可得如下模型：(1.1)这里表示易感类的常迁入率，为每一类个体的自然死亡率，和分别表示染病类和恢复类的病死率，为染病类转化为恢复率的转化率，17为恢复类的

4、免疫失去率，参数e假设为非负常数，其余诸参数假设都为正常数，表示一个染病者所具有的非线性传染力，且满足以下的条件（H）（参见[5,6]）:(H1)当时，(H2)当.一些常用的的特殊形式是（可看[5,8,9]）:应当提及的是，这里的以线性传染力作为其特殊情形（此时相应的传染率即为双线性传染率）.由系统（1.1）易得有关的方程：.上述有关的微分方程暗示中的系统（1.1）的所有解将趋近或进入或停留在的子集中：.这样只需考虑在集合中的解.不难证明在内非负初值将导致非负解，且解存在的最大区间为（可参[10,11]）.因此

5、系统（1.1）初值问题的解从数学和流行病学两方面来说都是有意义的.显然，系统（1.1）总有无病平衡点，地方病平衡点的存在唯一性由阈值确定：引理1.1如果,则系统（1.1）在中存在唯一的地方病平衡点.证令系统（1.1）的右边为零，得到地方病平衡点应满足的方程组：17因为故有.作辅助函数则当时，,又,于是由在内的连续性及严格递增性可知存在唯一的,使得又.故系统（1.1）在中存在唯一的地方病平衡点.以下给出本节的主要结果：定理1.2如果,则系统（1.1）的无病平衡点在D1中是全局稳定的；如果，则是不稳定的，唯一的地方

6、病平衡点在中是全局稳定的.证作Liapunov函数则.当时,注意到的严格递增性可得，从而由Laselle不变原理[12]知是全局稳定的；当时，注意到的连续性，易见在中的点的充分领域内，非空，因而点是不稳定的.下证时地方病平衡点的全局稳定性.17注意到系统（1.1）等价于作Liapunov函数,由计算可得：由于在内严格递增，又，故是内的正定函数，是负定函数并且的充要条件为且.又使得的最大正不变子集为,于是由Laselle不变原理知在中是全局稳定的.2SIRI框架下的DS模型及定性分析在上一节的SIRI模型中，如果

7、把易感类按易感性的不同再细分为类,17则可得相应的DS模型：（2.1）这里表示第类易感类的常迁入率，并记，表示与第类易感类接触的每一个染病者所具有的非线性传染力，且也满足条件（H）.由系统（2.1）易得有关N的方程：容易证明是系统（2.1）的正不变集.显然，系统（2.1）总有无病平衡点记.2.1无病平衡点的全局稳定性和不稳定性定理2.1当时，无病平衡点在中是全局稳定的；当，点是不稳定的.证注意到系统（2.1）等价于17作Liapunov函数经计算可得：由条件（H）知在内严格递增，又，故是上的正定函数，而是负定函

8、数且的充要条件为且，又使得的最大正不变子集为点，于是由Laselle不变原理知点在中是全局稳定的.当时，易见在中点的充分小领域内，非空，从而点是不稳定的.2.2地方病平衡点的存在性和全局稳定性由上一小节可知为时，无病平衡点在中是全局稳定的，从而此时点是中唯一的平衡点，下在的前提下讨论地方病平衡点的存在性与稳定性，我们首先将给出系统（2.1）存在地方病平衡点的一个引理，然后给出如果地方病