微积分的产生与发展

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1、微积分的产生与应用一、微积分产生背景在十六世纪末、十七世纪初的欧洲，文艺复兴带来了人们思维方式的改变．资本主义制度的产生，使社会生产力大大得到解放．资本主义工厂手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速向前发展．在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出了新的课题．公元1492年，哥伦布发现了新大陆，证实了大地是球形的观念；1543年，哥白尼发表了《天体运行论》，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇；开普勒在1609～1619年，总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿

2、万有引力的发现；1609年伽里略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向新的境界．这些科学实践拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的质变．十六世纪对数学的研究从常量开始进入了变量的领域．这成为数学发展史上的一个转折点，也是“变量”数学发展的第一个决定性步骤．由于“变量”作为新的问题进入了数学，对数学的研究方法也就提出了新的要求．在十七世纪前半叶，解析几何的观念已经有一系列优秀的数学家接近了．但是十七世纪三十年代，解析几何才被笛卡尔(Descartes，R．(法)1596～1

3、650)和费尔马(Fermat，P．de(法)1601～1665)创立．在解析几何里，由于建立了坐标系，可以用字母表示变动的坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数运算代替几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来了．这种新的数学方法的出现与发展，使数学的思想和方法的发展发生了质的变化，恩格斯把它称为数学的转折点．此后人类进入了变量数学阶段，也是变量数学发展的第一个决定性步骤．为十七世纪下半叶微积分算法的出现准备了条件。二、微积分的产生过程微积分是经过

4、长时间的酝酿才产生的．微积分的原理可以追溯到古代．在中国，公元前4世纪的桓团、公孙龙等所提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；公元3世纪的刘徽，公元5～6世纪的祖冲之、祖暅对圆周率、面积以及体积的研究，都包含有极限和微积分的思想萌芽．在欧洲，公元前3世纪古希腊的欧几里得(Euclid)、阿基米得(Archimedes约公元前287～212)所建立的确定面积和体积的方法，也都包含有上述萌芽．在十六世纪末、十七世纪初，由于受力学问题的研究、函数概念的产生和几何问题可以用代数方法来解决的影响，促使许多

5、数学家去探索微积分．开普勒(Kepler．J．(德)1571～1630)、卡瓦列里(Cavalieri，F．B．(意)1598～1647)和牛顿的老师巴罗(Barrow，I．(英)1630～1677)等人也研究过这些问题，但是没有形成理论和普遍适用的方法．1638年，费尔马首次引用字母表示无限小量，并运用它来解决极值问题．稍后，他又提出了一个与现代求导过程实质相同的求切线的方法，并用这种方法解决了一些切线问题和极值问题．后来，英格兰学派的格雷果里(Gregory，J(英)1638～1675)、瓦里

6、斯(Wallis，J．(英)1616～1703)继续费尔马的工作，用符号“0”表示无限小量，并用它进行求切线的运算．到十七世纪早期，他们已经建立起一系列求解无限小问题的特殊方法．诸如，求曲线的切线、曲率、极大极小值，求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度、物体重心的计算等．但他们的工作差不多都局限于一些具体问题的细节之中，还缺乏普遍性的规律．到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即

7、时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。　三、古代至中世纪的有关研究工作早在古代数学中，就产生了微分和积分这两个概念的思想萌芽，形成两种基本的数学运算。两者分别地被人们加以研究和发展。历史上，积分思想先于微分思想出现，而不象今天的《数学分析》所讲授的那样，先微分后积分。积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期

8、数学文献中都有涉及这类问题的思想和方法。如：古希腊的阿基米德（公元前287―212）用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为“穷竭法”。中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》（公元263年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这些都是原始的积分思想。又如，中国清代著名数学家李善兰独创的“尖锥术”，已使中国步入了微积分的大门。但还未形成多大影响时，西方的微积分就传入了中国。16世纪以后，欧洲数