北科高数上册第三章答案

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1、习题3-1（A）1证明：显然f（x）在[2,3]上连续、可导，且f(2)=f(3),显然在[2,3]连续。则有介值定理可知，在[2,3]区间上必存在一点使得所以罗尔定理对f（x）在区间[2,3]上成立2证明：显然函数在[0,]上连续、可导，，又，而-1<<0所以由介值定理可知必存在一点，使得所以拉格朗日中值定理对f（x）在区间[0,]上成立3证明：令，显然其在[0,1]上连续、可导。由罗尔定理知，在[0,1]上必存在一点使得，即所以在[0,1]上柯西中值定理对f（x）和g（x）成立4证明：令则即f（x）恒等于一常数，又f（0）=0，所以5证明：令则即,又6解：因为，由罗尔定理可知，在[0,

2、1],[1,2],[2,3],[3,4]区间分别存在四个点，使得7证明：（1）设，显然函数在整个定义域内连续、可导，则由拉格朗日中值定理可知：，即（2）设，显然函数在整个定义域内连续、可导，则由拉格朗日中值定理可知：在[a,b]区间上有，即（3）设，则在[b,a]上函数连续、可导，由拉格朗日中值定理可知：存在一点，使得又因为，所以，即8证明：设，二者在[0，]上均连续、可导，并且对任意都有，由柯西中值定理知，存在使，即9证明：设则由拉格朗日中值定理知，，使得10证明：设，函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导则由罗尔定理可知，在（a,b）内至少存在一点使得：，即11证明：设，其在[0,

3、1]上连续，在（0,1）内可导又，由罗尔定理可得=012证明：设，利用反证法，设若方程有至少4个根，则，又f（x）在定义域内至少4阶连续、可导，则由罗尔定理可知，至少存在点，使得再次利用罗尔定理，则存在点，使得=0由罗尔定理可知，在（）内至少存在一点使得而，即不可能找到一点使得f（x）的三阶导数为零，所以假设不成立，即方程至多有3个根13证明：令，其在[0,]上连续，在（0,）内可导又,所以由罗尔定理可知至少存在一点，使得即14证明：令，此函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，又因为，由介值定理可知，在[1/2,1]之间存在c使得F（c）=0=F(0)，由罗尔定理可知，在[0,c]内

4、至少存在一点使得15提示：令，对f（x）和g（x）用柯西中值定理即可得证16提示：令，f（x）、g（x）在[a,b]上用柯西中值定理可证习题3-1（B）17证明：因为f（x）在[0,3]上连续，所以f（x）在[0,2]上连续，且在[0,2]上必有最大值M和最小值m，于是故由介值定理知，至少存在一点，使因为f（c）=1=f（3），且f（x）在[c,3]上连续，在（c,3）内可导，所以由罗尔定理可知，必存在18证明：，因为f（x）在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,则由罗尔定理知在（a，b）内必存在一点c使得，由于所以，即内单调减在（a，x）（x

5、中值定理知，即在（c，b）上利用拉格朗日中值定理同理可得即在[a,b]上，19证明：因为y=f（x）在x=0的某邻域内具有n阶导数由柯西中值定理得：反复运用柯西中值定理，得：使得：即使得：20证明：设，由题知F（x）在[a,b]上连续，(a,b)内可导则，又即，即即21证明：令，对F（x）应用拉格朗日中值定理，则存在使得成立再对在[a,b]上利用拉格朗日中值定理，则存在，使成立由上两式有22证明：（1）令，则g（x）在[0,1]上连续，且所以存在，使得即f()=1-(2)根据拉格朗日中值定理，存在，使得，，从而习题3—2(A)1．用洛必达法则求下列极限.(1)（2）==(3)(4)(5)(

6、6)(7)==(8)(9)(10)=(11)(12)(13)(14)由于所以(15)由于所以（16）（17）（18）由于所以2.验证下列极限存在，但不能由洛必达法则得出.(1)此极限不存在，洛必达法则不适用.原极限=（2）此极限不存在，洛必达法则不适用.原极限=3.设函数具有一阶连续导数，且，试求：.解：因具有一阶连续导数，从而连续，时，.则.4.设连续，试用洛必达法则证明证：当.且分子、分母（视为h的函数）都有导数，又注意到分母的导数，，故对（B）5.用洛必达法则求下列极限.(1)(2)(4)(6)(8),所以6．解：若使在连续，则满足，又故当时，在连续.7.解：由于所以，即函数在点处连

7、续.习题3—3(A)1．解：2．解：令同理可得：，故.3.解：故.4.解：故.5.解：故.6.解：故并得到;故.7.解.，因为，，所以，所以.8．解：由已知，，所以.9.估计下列近似公式的绝对误差.解：（1），所以，故，，.(2)因为，.所以，10.解：，11.利用三阶泰勒公式求下列各数的近似值并估计误差.解：（1），.(2),,,其中（3），.12.利用泰勒公式求下列极限.(1)所以，.(2)因为.所以（3）所以[()