华师大 02年 数学分析

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1、华东师范大学2002年攻读硕士研究生数学分析入学考试试题一（12分）计算：1．。解：2．解：3．设F为上的可微函数，由方程确定了z为x与y的函数，求在点的值。解：，，，。二（15分）设函数均在内有连续导数，且对于任何，有。求证：1．不可能有相同的零点；2．的相邻零点之间必有的零点。3．在的每个极值点，存在的某邻域，使得在该邻域中是严格单调的。证明:1、反证，若有相同的零点，则，矛盾；2、反证，，，且当，，且，，所以保号，不妨设，令，则，在严格单调上升，所以矛盾；3、，所以，即有，不妨设，由在连续，则存在，使得时，

2、，因此在内严格单调。三（15分）设初始值给定，用递推公式,得到数列1．求证数列收敛；2．求所有可能的极限值；3．试将实数轴R分成若干个小区间，使得当且仅当在同一区间取初始值：都收敛于相同的极限值。证明：，所以当，易知，故，单调减少有下界，数列收敛；当，易知，故，单调增加有上界，数列收敛；综合得数列收敛；2、记，则，解得；且当时，，当时，，当时，；所以所有可能的极限值为0，1，-1；3、作，；，；且则存在唯一的，使得，且当时，，因此当，则，所以极限值大于等于0，小于1，所以极限值为0；当，假设，则，即，又，由归纳法

3、知，所以所以极限值大于等于1，故极限值为0；当，，所以，这时极限值为0；同理可知则存在唯一的，满足，当，则极限值为0；当，则极限值为-1；当，极限值为0。四（12分）设，求椭球体的表面积。解：表面积为五（18分）设数列有界但不收敛，求证：1．对于任何，收敛；2．对于任何，在上一致收敛；3．在上不一致收敛。证明：1、设，有，而，所以对于任何，收敛；2、，由上证得收敛，由M-派别法知在上一致收敛；3、取，发散，故在上不一致收敛。六（12分）设函数在上连续，求证。证明：，所以只要证，设，由在上右连续，有对任意的，存在，

4、当时，有，，]，由积分中值定理上式令，再由的任意性得，即有。七（16分）设函数在上严格递增，且有连续导数，。设是的反函数，求证：1．对于任何，都有2．当时，下列不等式成立：其中当且仅当时，等式成立。证明：1、则所以；2、证明：是上严格单调增加且，所以，不妨设，则有如图（1）由积分的几何意义有，，其中为曲边梯形的面积，为曲边梯形的面积，记为矩形的面积。显然如图（1）有+，即。且当且仅当时，等式成立。图（1）