1983年全国统一高考数学试卷(文科)

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1983年全国统一高考数学试卷（文科）　一、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1．（2分）在直角坐标系内，函数y=|x|的图象（　　）　A．关于坐标轴、原点都不对称B．关于原点对称　C．关于x轴对称D．关于y轴对称　2．（2分）抛物线x2+y=0的焦点位于（　　）　A．y轴的负半轴上B．y轴的正半轴上C．x轴的负半轴上D．x轴的正半轴上　3．（2分）两条异面直线，指的是（　　）　A．在空间内不相交的两条直线　B．分别位于两个不同平面内的两条直线　C．某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线　D．不在同一平面内的两条直线　4．（2分）对任何的值等于（　　）　A．B．C．D．　5．（2分）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（　　）　A．0.32＜20.3＜log20.3B．0.32＜log20.3＜20.3　C．log20.3＜0.32＜20.3D．log20.3＜20.3＜0.32　二、解答题（共9小题，满分110分）6．（10分）在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形．　7．（6分）求函数的定义域．　8．（6分）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法．　5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve 9．（12分）已知复数．　10．（12分）在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积．　11．（14分）如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20米，在A点处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度h（结果可以保留根号）．　12．（16分）如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内，∠ABC=60°，∠ACB=30°，BC=24cm，A点在平面α内的射影为N，AN=9cm，求以A为顶点的三棱锥A﹣NBC的体积（结果可以保留根号）．　13．（17分）一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列．　14．（17分）如图，已知两条直线L1：2x﹣3y+2=0，L2：3x﹣2y+3=0．有一动圆（圆心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称．　5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve 1983年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析　一、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1．（2分）在直角坐标系内，函数y=|x|的图象（　　）　A．关于坐标轴、原点都不对称B．关于原点对称　C．关于x轴对称D．关于y轴对称考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣x）=|﹣x|=|x|=f（x）可得f（x）=|x|为偶函数，所以函数y=|x|的图象关于y轴对称．解答：解：∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|=f（x），则f（x）=|x|为偶函数，∴y=|x|的图象关于y轴对称．故选D．点评：本题主要考查偶函数的图象问题，即图象关于y轴对称．　2．（2分）抛物线x2+y=0的焦点位于（　　）　A．y轴的负半轴上B．y轴的正半轴上C．x轴的负半轴上D．x轴的正半轴上考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：先化为抛物线的标准方程，根据抛物线的基本性质可得到答案．解答：解：由x2+y=0可得x2=﹣y，故焦点位于y轴的负半轴上故选A．点评：本题主要考查抛物线的标准方程．只要将问题转化为标准方程就可迎刃而解．　3．（2分）两条异面直线，指的是（　　）　A．在空间内不相交的两条直线　B．分别位于两个不同平面内的两条直线　C．某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线　D．不在同一平面内的两条直线考点：异面直线的判定．专题：综合题．分析：直接由异面直线的定义，判断选项的正误即可．解答：解：A两条直线可能平行，所以不正确．B分别位于两个不同平面内的两条直线，可能还在另一个平面，不正确．C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能在同一个平面，不正确．D是异面直线的定义，正确．点评：本题考查异面直线的定义，是基础题．　4．（2分）对任何的值等于（　　）　A．B．C．D．考点：半角的三角函数．5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve 专题：计算题；压轴题．分析：先根据余弦的半角公式求得cos的值，再根据α的取值范围判断正负．解答：解：∵cosα=2cos2﹣1∴cos=±∵180°＜α＜360°∴∴cos＜0∴cos=﹣故选C点评：本题主要考查了余弦函数的半角公式．属基础题．　5．（2分）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（　　）　A．0.32＜20.3＜log20.3B．0.32＜log20.3＜20.3　C．log20.3＜0.32＜20.3D．log20.3＜20.3＜0.32考点：不等式比较大小．专题：压轴题．分析：确定0.32，log20.3，20.3这些数值与0、1的大小即可．解答：解：∵0＜0.32＜1，log20.3＜0，20.3＞1∴0.32＜20.3＜log20.3故选C．点评：本题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值1、0这些特殊值的比较．　二、解答题（共9小题，满分110分）6．（10分）在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形．考点：曲线与方程．专题：数形结合．分析：将方程变形，分析方程所代表曲线的类型．解答：解：x2+y2=2x，即：（x﹣1）2++y2=1，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve x2﹣y2=0，即：（x+y）•（x﹣y）=0，即：x+y=0或x﹣y=0，表示2条直线．点评：将方程化简变形，确定曲线形状．　7．（6分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解答：解：根据题意，得解得﹣5≤x＜6．∴函数的定义域是[﹣5，6）．点评：本题主要考查自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．　8．（6分）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；分类讨论．分析：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括三种情况，一是有一女两男，二是有两女一男，三是有三个女生，分别用组合数表示出三种情况的结果数，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括三种情况，一是有一女两男，二是有两女一男，三是有三个女生，当有一女两男时共有C41•C62当有两女一男时共有C42•C61当有三女时共有C43根据分类计数原理得到结果是C41•C62+C42•C61+C43=100（种）点评：本题是一个分类加法，在题目中要分为三类，表示时比较麻烦，本题可以这样解：C103﹣C63=120﹣20=100（种）　9．（12分）已知复数．5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve 考点：复数的基本概念；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：直接把复数z代入要证明等式左边，按复数乘方运算，化简即可．解答：证明：=cos3α+isin3α+cos（﹣3α）+isin（﹣3α）=2cos3α点评：本题考查复数的基本概念，三角函数恒等式的证明，考查计算能力，是基础题．　10．（12分）在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积．考点：在实际问题中建立三角函数模型；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：如图用圆的半径R与图中所示的角（可设出）表示出来，把此矩形的面积表示出来，再用三角函数的相关的公式化简，最后用三角函数的有界性判断最大值在什么情况下取到，求出矩形的最大面积以及矩形的长与宽的大小．解答：解：设矩形在半圆板直径上的一边长为2x，α角如图所示，则x=Rcosα，另一边的长为Rsinα，矩形面积S为S=2R2sinαcosα．=R2sin2α当2α=即α=时，也即长为，宽为时，矩形面积最大最大面积是R2点评：本题考查用三角函数解决实际问题的最值，这是三角函数的一个重要的运用，请仔细体会本题中函数关系的建立过程．　11．（14分）如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20米，在A点处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度h（结果可以保留根号）．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve 分析：分别在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，进而在△AOB中，由余弦定理求得旗杆的高度．解答：解：在直角△AOP中，得OA=OPcot30°．在直角△BOP中，得OB=OPcot45°=h在△AOB中，由余弦定理得，，答：旗杆的高度h为点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力．　12．（16分）如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内，∠ABC=60°，∠ACB=30°，BC=24cm，A点在平面α内的射影为N，AN=9cm，求以A为顶点的三棱锥A﹣NBC的体积（结果可以保留根号）．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：过N作NE⊥BC，E为垂足，连接AE，求出AE，NE，求出底面△NBC面积，然后求出体积即可．解答：解：过N作NE⊥BC，E为垂足，连接AE，由三垂线定理可知AE⊥BC在直角三角形ABC中，．在直角三角形ANE中，．三棱锥A﹣NBC的体积答：三棱锥A﹣NBC的体积为：108cm2点评：本题考查线线关系证明垂直关系，从而说明锥体的高，求出底面面积是解好本题的一个环节，考查计算能力，是基础题．　5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve 13．（17分）一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：设所求等比数列为a，aq，aq2，由已知条件得，由此能够求出原来的等比数列．解答：解：设所求等比数列为a，aq，aq2，由已知条件得化简得：解方程组得或由a=2，q=3，得所求等比数列是2，6，18；由，得所求等比数列是经检验均正确．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．　14．（17分）如图，已知两条直线L1：2x﹣3y+2=0，L2：3x﹣2y+3=0．有一动圆（圆心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称．考点：轨迹方程；双曲线的定义．专题：计算题；压轴题．分析：设圆心M的坐标为（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的关系，根据弦、弦心距、半径三者之间的关系及点到直线的距离公式即可得到．解答：解：设圆心M的坐标为（x，y），圆的半径为r，点M到L1，L2的距离分别为d1，d2根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有，．得d22﹣d12=52．根据点到直线的距离公式，得5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve 代入上式，得方程化简得x2+2x+1﹣y2=65．即．所以轨迹是双曲线．点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．　5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve