棱锥高中数学

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1、学科：数学教学内容：棱锥【学习目标】1．掌握棱锥的定义、性质、表面积和体积公式．2．掌握正棱锥的性质，并能熟练运用正棱锥的基本元素所构成的直角三角形求解、证明有关问题．【高考试题剖析】1．（2003年春季高考·上海）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_____．（结果用反三角函数值表示）【解析】取BC中点为D，连SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC．所以∠SDA为侧面与底面的二面角的平面角，设为α．在平面SAD中，做SO⊥AD与AD交于O．则SO为棱锥的高．∵正三棱锥顶点S在底面ABC的射

2、影为O∴O为△ABC的重心∴AO∶OD=2∶1∴又VS—ABC=·AB·BC·sin60°·h=1．12∴h=，∴tanα=．∴α=arctan【答案】arctan2．当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥的轴截面顶角是（　　）A．120°B．90°C．45°D．30°【答案】A3．一个正四棱锥的中截面面积是Q，正四棱锥的底面边长是（　　）A．B．C．QD．2【解析】设正棱锥的底面边长为a．则∴a=2【答案】D4．一个棱锥的所有侧面与底面所成角均为，底面积为S，则它的侧面积为_____．【解析】射影面积定理．【答案】5．

3、一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为1cm，过顶点作圆锥的截面中最大截面面积为_____．【解析】当截面顶角大于等于90°时，截面的顶角为90°时面积最大【答案】cm2．【典型例题精讲】12［例1］根据下列条件，填写三棱锥P—ABC顶点P在底面ABC内的射影O的位置：（1）三条侧棱相等（　　）（2）侧棱和底面所成的角相等（　　）（3）侧面与底面所成的角相等（　　）（4）P到△ABC三边距离相等且O在△ABC内部（　　）（5）三条侧棱两两垂直（　　）（6）相对棱互相垂直（　　）（7）PA＝PB＝PC，∠ACB＝90°（

4、　　）【解】（1）外心（2）外心（3）内心或旁心（4）内心（5）垂心（6）垂心（7）AB的中点［例2］将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D—ABC的体积为（　　）A．B．C．D．图9—63【分析】∵DB=DA=DC=a∴D在面ABC上的射影为△ABC的外心即AC的中点O∴VD—ABC=×a2×a=a3．【答案】D［例3］已知两条异面直线段的长分别为a、b，夹角为θ，距离为h，求证：以此二异面直线段为对棱的四面体的体积为abhsinθ．12图9—64【证明】如图9—64，四面体ABCD中，A

5、B＝a，CD＝b，AB、CD夹角为θ，距离为h，过B作BE∥CD，过C作CE∥BD交BE于E，连AE，则∠ABE＝θ或π－θ．因为CD∥平面ABE，∴AB与CD的距离为h，即CD到平面ABE的距离，即C到平面ABE的距离，即棱锥C—ABE底面ABE上的高，显然VC—ABE＝VA—BCE＝VA—BCD，VC—ABE＝·AB·BE·hsinθ＝abhsinθ∴VA—BCD＝abhsinθ．【评述】锥体的体积求解常常利用“等积变形”．［例4］如图9—65，设三棱锥S—ABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是60°，又∠BAC＝

6、60°，且SA⊥BC．图9—65（1）求证S—ABC为正三棱锥；（2）已知SA＝a，求S—ABC的全面积．（1）【证明】正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上射影是底面的中心，两个条件缺一不可．作三棱锥S—ABC的高SO，O为垂足，连结AO并延长交BC于D．因为SA⊥BC，所以AD⊥BC，又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB＝AC．又∠BAC＝60°，12故△ABC为正三角形，且O为其中心，所以S－ABC为正三棱锥．（2）【解】只要求出正三棱锥S—ABC的侧高SD与底

7、面边长，则问题易于解决．在Rt△SAO中，由于SA＝a，∠SAO＝60°，所以SO＝a，AO＝a，因O为重心，所以AD＝AO＝a，BC＝2BD＝2ADcot60°＝a，OD＝AD＝a．在Rt△SOD中，SD2＝SO2＋OD2＝（a）2＋（a）2＝，则SD＝a．于是，SS－ABC全＝sin60°＋3··a·a＝a2．【评述】（1）求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底＝cosα·S正棱锥侧（α为侧面与底面所成的二面角），就本题cosα＝，S△ABC＝，所以SS－ABC侧＝a2÷＝a2，于是也可求出全面积．（2）注

8、意到高SO＝a，底面边长BC＝a是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真．（3）正三棱柱中，若侧棱与底面边长相等，则变成四个面都是正三角形的三棱锥，这时可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体．正方体沿相邻三个面上的对角线切割就形成正四面体．正四面体内对应元素相等