浅谈探索性问题的解法

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1、浅谈探索性问题的解法探索性试题是近几年来中考比较常见的开放型试题，也是中考数学试题中出现的一种新题型。这种题型能够考查学生的数学阅读能力，观察能力、试验，类比和归纳能力，综合运用知识的能力，以及探索能力等，今后的中考数学试题中必将继续出现这种题型，而且在质量上也会上一个新台阶，教师在数学总复习时必须重视这种题型的分析与指导。探索性数学试题，可分为结论探索性和探究存在型两种类型。结论探索型试题是指命题的条件下不完备或结论不明确，从而蕴含着几种可能性，因此这类命题能激发学生的创造思维能力和探索热情，在教学中可引导学生注意自命题，改编命题的变式训练。探索存在型试题是命题的结论或结论的某种情况问你

2、存在与否，这种试题可以考查学生的判断能力、发现问题、解决问题的能力，因此教学中应注意这种开放型试题的训练，以培养联想、猜想、探索等能力。例1、已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP1、∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC2、AC∶AP满足什么条件时，△ACP∽△ABC此题也是探索性题，可引导学生从结论出发找到需要的条件，从而使问题得以解决。分析：从图（1）可以看出，△ACP∽△ABC，∠A＝∠A，根据三角形相似的判定定理，只要使∠ACP＝∠B或使AC∶AP＝AB∶AC，都有△ACP∽△ABC。解：（1）∵∠A＝∠A∴当∠ACP＝∠B时△ACP∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似

3、）（2）∵∠A＝∠A∴当AC∶AP＝AB∶AC时△ACP∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）答：（1）∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；（2）AC∶AP＝AB∶AC时，△ACP∽△ABC第8页共8页与二次函数有关的探索性试题随着数学中考对考查学生的数学思想方法及分析问题解决问题的能力的要求逐年提高，中考试题中出现了一类新颖的题型——探索性试题，与二次函数有关的探索性试题又是中考热点之一．其特点是：1．难度大．此类试题涉及的知识点多．将知识、技巧、思想方法综合在一起，对学生思维和能力有较高的要求．2．选拔功能强．这类题大体有以下类型1．由已知条件探索结论这类试题给出命题的

4、条件，要求考生探索命题的结论，并加以证明．其解法是：根据二次函数的性质，应用综合法从已知条件推出可知，再推出可知，逐步推出正确的结论或通过观察，想象、比较、归纳，作出猜想，然后证明猜想．这是一个不断地由未知转化为已知的探索性思维的过程．2．探索存在性问题　　此类试题是探求符合题设条件的数学对象是否存在．其解法是：先假设所需探求的对象存在或结论成立，以此假设为前提运用二次函数等知识进行运算或推理，找出数学对象存在的条件，从而确定数学对象的存在，否则不存在．探索型问题（二）数形结合，探索思路。例1．已知抛物线y=x2+kx+1与x轴相交于两个不同的点A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试求如

5、何平移此抛物线使其∠ACB=60°。分析：很多同学对这道题感到比较生疏，一是有的已知条件，如∠ACB=90°意味着什么？怎样入手解？二是平移后使∠ACB=60°，又意味着什么？　不妨换个角度考虑问题，画图观察一下。草图如图所示，可看到由于抛物线的对称性，∠ACB=90°就意味着△第8页共8页ACB是等腰直角三角形，就是说，斜边AB上的高CD等于斜边AB的一半，而AB的长等于这两点横坐标差的绝对值，CD的长则是顶点C纵坐标的绝对值。于是可以列出方程，求得k的值：设A、B两点横坐标分别为x1、x2，则它们是方程x2+kx+1=0的两个相异的实数根，那么有　　　　于是AB=

6、x2-x1

7、=　　又

8、设顶点C的坐标为(x0,y0)，应用顶点坐标公式，有y0=，CD=

9、y0

10、。　　那么条件CD=AB就是如下方程：　　

11、x1-x2

12、=

13、y0

14、，即　　=（∵k2-4>0）。　(k2-4)2-4(k2-4)=0，　(k2-4)(k2-8)=0。　∵k2-4>0，∴k2-8=0。∴k=±2。　于是抛物线解析式为y=x2±2x+1。这样通过观察图形和计算，不但弄清了∠ACB=90°意味着什么和如何利用这个条件求出k值，同时也提示我们用同样的方法去分析平移抛物线，使其∠ACB=60°。画图分析可看到，抛物线向下平移，∠ACB逐渐变小，当∠ACB=60°时，由抛物线的对称性可知△ACB为等边三角形。因

15、为等边三角形的高等于边长的倍，所以CD=AB，这就给我们提供了一个等量关系，利用这个关系列方程，可求出平移后抛物线解析式中的常数项。设把抛物线y=x2±2x+1向下平移

16、l

17、个单位后，使∠ACB=60°，则平移后抛物线的解析式为　　y=x2±2x+1+l。　　设A、B两点的横坐标分别为，C点纵坐标为，则按题意有

18、

19、　　①　　又=±2，=1+l，因此　　=第8页共8页。　　==l-1。　　代入①，得=

20、1-l

21、。　　平方，