概率论第二版第3章习题答案讲解

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1、习题3.11．在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品．从这10件产品中任意抽取3件，用X表示其中的一等品数，Y表示其中的二等品数，求的分布列．解X的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为0，1，2，3，因此的可能取值为，且有，，，，，．由此，的分布列可以由下表给出YX01230120021/12035/120014/12042/12001/1207/120004．设的密度函数为，求．解．5．设的密度函数为，求：(1)常数A；(2)．解（1）由联合密度函数的性质，有，得．（2）．10．袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只．定义下列随机变量：分别就有放回

2、抽取和无放回抽取两种情形，求：(1)的联合分布列；(2)两次摸到同样颜色球的概率．解（1）有放回抽样：由事件的独立性条件得的联合分布列为，，，．如下表XY01019/256/256/254/25两次摸到同样颜色球的概率为．（2）无放回抽样：由乘法定理得的联合分布列为，，，．XY01010.30.30.30.1如下表两次摸到同样颜色球的概率为．习题3.22．已知的联合分布函数为，求：（1）边缘分布函数；（2）联合密度函数及边缘密度函数；（3）判断与的独立性．解（1）即有，．（2）故，．（3）由于，所以相互独立．3．一个盒子中有三只乒乓球，一只白色，两只黄色，现从袋中有放回的

3、任取两次，每次取一只，以X，Y分别表示第一次、第二次取到球的颜色．求：（1）X和Y的联合分布列；（2）X和Y的边缘分布列；（3）判断X和Y的独立性．解定义下列随机变量：（1）在有放回取球条件下，，，．YX.12121/92/92/94/9（2）边缘分布列X12P1/32/3Y12P1/32/3（3）由于，所以相互独立．5．随机变量在区域上服从均匀分布，求的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量是否独立．解区域的面积为，所以的联合密度函数X和Y的边缘密度函数故，．由于，所以独立．8．甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率分别为0.2，0.5，求甲、乙命中次数X与Y的联合概

4、率分布．解依题意，，据公式可算得X和Y的概率分布分别为，．由X和Y的独立性可得X和Y的联合概率分布为YX.0120120.160.320.160.080.160.080.010.020.01习题3.31.（1）；；（2）.5.设随机变量（X,Y）的密度函数为求（修改后的题）解6.设随机变量X与Y独立，它们的概率密度分别为求（修改后的题）解因为X与Y独立，所以（X,Y）的密度函数为习题3.42．设与的联合密度为，求及．解（1）设D为所围区域，则．（2）．4．设且，求：（1）与的联合概率分布；（2）．解（1），有四个可能取值：，且由题意，有，，，．与的联合概率分布为X2X10

5、1010（2）的概率分布为故．5．设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域D上服从均匀分布，求随机变量的方差．解方法1X和Y的联合密度函数为，，从而．同理，．，，．方法2，，．习题3.52．在n次独立试验中，事件A在第i次试验中发生的概率为，证明：事件A发生的频率依概率收敛于A发生概率的平均值．证明设X表示在n次试验中事件A发生的次数，若引入随机变量，，则．且服从0—1分布，，故．由于，故，即方差有公共的上界.因此由切比雪夫大数定律可知，对任意的，有，即．可见，事件A发生的频率依概率收敛于A发生概率的平均值．5．一生产线生产的产

6、品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用载重量为5吨的汽车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977．解设n为所求的箱数，且设为第i箱的重量．由题意，知．且将视为独立同分布的随机变量．又n箱的重量，易算得．根据林德贝格—莱维中心极限定理，近似服从正态分布．依题意n需满足，即有由此得，即．设，则有，解得（舍去负的下界）．因此，，即最多可以装98箱可保证不超载的概率大于0.977．6．已知相互独立的随机变量,,…,都服从泊松分布，记，求．解因为,,…,独立同分布，且．根据林德贝格—莱维中心极限定理，X

7、近似服从正态分布．．7．某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量．（1）写出的概率分布；（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值．解设{抽查到被盗索赔户}，则．依题意，，因此分布律为．（2），根据棣莫佛—拉普拉斯定理，．8．在n次独立重复试验中,成功率为0.75,要使“试验成功的频率在0.74~0.76之间”的概率不小于0.90，则至少要进行多少次试验?解设表示n次重复独立试验的各次试验中事件成功的次数，则