排列组合题型总结

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1、排列组合题型总结    排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一．    直接法1．    特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：  =2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千

2、位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有  =192所以总共有192+60=252二．    间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252例2  有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？    分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有  个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-  =432（个）三．    插空

3、法  当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。    例3  在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？    分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。四．    捆绑法  当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例4    4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：×=576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每

4、个盒子不空，则不同的放法有    种（）2．    某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）五．    阁板法  名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5  某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共    种。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个

5、名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即  当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可当项种4个字母都在时  四者都相加即可．练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整数解有（）六．

6、    平均分堆问题  例6    6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？  分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。七．    合并单元格解决染色问题例7  （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法

7、共有    种（以数字作答）。  分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．  下面分情况讨论:  (ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素    ①③⑤的全排列数（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得  种着色法．（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格              ①从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方法．  由加法原理知：不同着色方法共有2=48+24=72（种）练习1（天津卷（文））将3种作物种植1   

8、 2    3    4    5