考点5,回归分析与独立性检验

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1、考点五回归分析与独立性检验考点要揽◆会做两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。◆了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。◆了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及其简单应用。◆了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。命题趋向◆以选择题和填空题的形式考查线性回归系数或利用线性回归方程进行预测，在给出临界值的情况下判断两个变量是否有关。◆在解答题中与频率分布结合考查线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用。备考策略◆系统掌握有关概念◆能熟练的运用公式求线性回归

2、系数一、回归分析(一)回归直线方程:,其中,称为样本中心点,因而回归直线过样本中心点.(二)样本相关系数用来衡量两个变量之间线性相关关系的方法.当时,表明两变量正相关;当,表明两变量负相关.越接近1,表明两变量的线性相关性越强;越接近0,表明两变量的线性相关关系几乎不存在,通常当时,认为两个变量有很强的线性相关关系.理解总结（一）线性回归分析一般情况下,在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下,应先进行相关性检验,在确认具有线性相关关系后,再求回归直线方程.回归分析的一般步骤为:1.从一组数据出发,画出散点图,只

3、有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有实际意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义;2.如果具有线性相关关系,求出回归方程,其中是常数项,是回归系数;3.根据回归方程,由一个变量的值,预测或控制另一个变量的值.（二）估计线性回归模型中的未知参数和时,一般利用最小二乘法.其计算公式为:其中，.对此公式不要求记忆,但要会用.高考导航例1假设关于某设备使用年限和所支出的维修费用(万元)有如下的统计资料:使用年限23456维修费用2.23.85.56.57.0若由资料知对呈线性相关关系.试求:(1)线性回归方程的回归系数;(

4、2)估计使用年限为10时,维修费用是多少?解题思路求回归直线方程的计算量较大,需要细心、谨慎地计算.可以通过列表,计算出，，，,后将这些量代入公式计算.解析：(1)制表如下:12345合计23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.0112.3 4916253690 ; ; ;于是，.(2)回归直线方程为.当时,,即估计使用10年时,维修费用是12.38万元.二、独立性检验（一）独立性检验的概念一般地,假设有两个分类变量和,它们的值域分别为和,其样本频数列联表(称为列联表)为:总计总

5、计我们利用随机变量来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”,这种方法称为两个分类变量的独立性检验.（二）独立性检验的基本思想独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论“两个分类变量没有关系”成立.在该假设下我们构造的随机变量应该很小,如果由观测数据计算得到的的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理.具体比较如下表:反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理在假设下,如果推出一个矛盾,就证明了不成立.独立性检验原理在假设下,如果出现一个与矛

6、盾的小概率事件,就推断不成立,且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.（三）独立性检验的方法假设:“与有关系”,可按如下步骤判断结论成立的可能性:1.通过等高条形图,可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度.2.利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度,具体做法是:（1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界,然后通过下表确定临界值.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.

7、0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）由公式,计算的观测值.（3）如果,就推断“与有关系”.这种推断犯错误的概率不超过;否则,就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“与有关系”,或者在样本数据中没有足够证据支持结论“与有关系”.理解总结根据独立性检验的基本思想,可知对于的观测值,存在一个正数为判断规则的临界值,当,就认为“两个分类变量之间有关系”;否则就认为“两个分类变量没有关系”.在实际应用中,我们把解释为有的把握认为“两个分类变量之间有关系

8、”;把解释为不能以的把握认为“两个分类变量之间有关系”,或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据.高考导航例1(1)下列关系中不是相关关系的是 (　  )(A)产品投入的广告费与产品的销售量.(B)数轴上的点与实数.(C)人的身高与体重的大小.(D)一天中的湿度与气温的高低.(2)对