解析《有理数》中蕴涵的数学思想

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1、蚌埠六中七年级数学组顾良解析《有理数》中蕴涵的数学思想同学们可能已经知道，我们所学习的数学知识好比是一棵大树的枝叶，而数学思想和数学思想方法就好比是这棵大树的树干.树干为枝叶的良好生长提高了丰富、充足的养分，同样数学思想和方法是数学知识的灵魂和纽带，它可以把若干的数学知识串联起来.因此，在平时的数学学习过程中，我们不仅要牢固掌握基础的数学知识，而且还要明晰其中蕴涵的数学思想和方法.这样，可以使得我们对数学知识有更加系统、深刻的了解和认识，同时也能做到对数学知识的高瞻远瞩、综观全局.下面就和同学们一起对《有理数》一章中的数学思想进行回顾、总结.一、分类讨

2、论的思想我们在研究解决有关问题的时候，常常根据问题的特点和具体要求，按照一定的标准，把这个问题分为若干种互不重复的情形，然后加以处理的一种数学思想就称为分类讨论的思想.分类讨论的思想在本章中体现得比较多，也比较充分.比如，对有理数的分类，我们可以有不同的分类标准，常见的有：（1）按照正负性分：；（2）按照整数、分数分：.在给出绝对值的意义时，也是分类说明的：正数的绝对值等于其本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0.同样，在给出有理数的加法法则时，也是通过分类的形式确定的：同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符

3、号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；两个数中有一个为0，和等于另一个加数.第6页共6页蚌埠六中七年级数学组顾良运用分类讨论的思想研究问题是非常有效的，它可以使得解决的对象更加清晰明了，把问题变大为小，变笼统为具体，最根本的是达到了容易解决问题的目的.当然，我们也要清楚，分类时必须遵循标准统一，不能重复也不能遗漏的原则.【例1】若a是有理数，a-a能不能是负数?为什么?思路分析：a是有理数．它可能是正有理数、负有理数或0，故需分a>0，a=0,a<0三种情况讨论。解：当a>O时，a-a=a-a=0；当a=0时，a-a=0-0=0；当a<0时，a-a=-

4、a-a=-2a>0所以，对于任何有理数a，a-a都不会是负数．小结：根据绝对值的意义，是解决这类题目的关键．二、数形结合的思想利用图形的性质研究数量关系，利用数量关系研究图形的性质，也就是把数与形进行转换，能够达到研究问题和解决问题的一种数学思想称为数形结合的思想.本章中的重要概念数轴就是典型的数形结合的产物，它帮助同学们具体、直观的理解了有理数有正数、0、负数的区分；依据数轴还帮助我们认识了相反数、绝对值的意义；结合数轴我们还总结归纳得到了有理数大小比较的方法、有理数的运算法则等.因此，数轴也具备了一种“工具”的功能.数形结合的思想实际上既把数形象化

5、了，也把形具体化了.这种思想所体现出来的方法，在我们以后的学习中将会得到更加充分的显示.第6页共6页蚌埠六中七年级数学组顾良【例2】已知数轴上有两点A、B，它们分别表示互为相反数的两个数a、b（其中a＞b），并且A、B两点间的距离是8，求a、b两数.分析：根据互为相反数的几何意义，从而得出A、B两点在数轴上的位置，根据数轴上的点所表示的有理数右边的数大于左边的数，正确解决问题.解：根据相反数的定义可知，因为A、B到原点的距离相等，即A、B互为相反数，它们之间的距离是8，所以A、B距原点的距离都是4，又因为a＞b，所以A点在原点右侧距原点4个单位处，B点

6、在原点左侧距原点4个单位处，所以a=4，b=-4.点评：若此题没有指明条件是a＞b，则要分两种情况进行讨论，即①a＞b时，②a＜b时，分别求出a、b的值.【例3】有理数a、b满足a＞0，b＜0且a＜b，用“＞”将a、b、-a、-b排列起来.分析：要比较a、b、-a、-b的大小，可以在数轴上找到表示这四个数的点的位置，因a＜b，故表示数a的点到原点的距离比表示数b的点到原点的距离要近，再根据互为相反数的两个数在原点两侧，并且到原点的距离相等这一性质，在数轴上找出表示a、b、-a、-b的位置，即可知它们的大小.解：将a、b、-a、-b在数轴上的位置表示出来

7、（如图所示），由图可知-b＞a＞-a＞bb-a0a-b点评：借助数轴，运用数形结合思想，使问题化难为易.【例4】第6页共6页蚌埠六中七年级数学组顾良一跳蚤在一直线上从0点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离0点的距离是个单位.析解：将这个跳蚤跳动的次数与位置借助数轴来表示，以0点为原点，原点向右为正方向，第1次向右跳1个单位，其位置表示的点为1；紧接着第2次向左跳2个单位，其位置表示的点为-1；第3次向右跳3个单位，其位置表示的点为2；第

8、4次向左跳4个单位，其位置表示的点为-2，依此规律跳下去，第6次，第8次，位置的点为-3，-4