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1、第十二章数学中蕴涵的美学思想第一节数学美的涵义第二节数学美的特征退出一、数学家论数学美二、数学美的涵义一、简单美二、对称美三、和谐美四、奇异美第三节感受数学美第四节数学美在中国的源头一、美观---外在的美二、美好---内在的美三、美妙---快乐的美四、完美---至善至美一、太极八卦---中国象数学的美二、河图洛书—数学形式美的雏形第一节数学美的涵义一、数学家论数学美古希腊的哲学家、数学家普洛克拉斯(Proelus)断言：“哪里有数，哪里就有美。”古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学
2、有很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是他的杰作,他认为“万物最基本的元素是数，数的和谐---这就是美。”返回庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是否十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部分之间的和谐、对称、恰到好处的平稳。”克莱因：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”高斯：“去寻求一种最美和最简
3、洁的证明，乃是吸引我研究的主要动力。”返回二、数学美的涵义返回返回返回第二节数学美的特征返回一、简单美简单性，在数学中普遍存在。数学中的每个概念，都是经过人们精心“雕琢”得到的，是人类智慧的结晶，数学就是以它的这种独特的“简”来展示它的美的。简单性是数学美的本质之一。数学是客观的数量关系和空间形式的高度抽象和概括，而经过不同程度的抽象后，所得出的数学形式和结构总是在不同的范围内呈现出简单的形态，简单性可用图表示。返回简约是一种美。数学便是用最简洁的语言概括了数量关系、空间结构,也正因为简洁,数学才得
4、以最广泛地运用,才有极强的生命力。简洁的阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0这一组数字是人们对物质世界存在性最直接最原始的表达。历史上,各国各民族都有自己的数字,但只有阿拉伯数字保留并广为流传,究其原因,简洁流畅的书写,干脆上口的发音,运算中进位快捷方便,是其胜出的法宝。符号简单符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符号常常比发明它们的数学家更能推理”,人们总是探索用简单的符号去表现复杂的数学内容。返回在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号用今天的符号表示即：宋、元
5、时期我国也开始了相当于现在“方程论”的研究，当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式412x2－x+136其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数”。返回16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直到笛卡尔才第一个倡用x,y,z表示未知数。他曾用xxx－9xx+26－24∝0表示方程x3－9x2+26－24=0这个演变过程就是对简单美的追求过程。返回如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数学符号却能精确地表示它们。有些数及其运算只有用符号表示，才
6、能更精确、更完美。例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊字母π来表示它，且通用全世界；也是欧拉用e表示特殊的无理常数─欧拉常数返回2.形式简单艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他们在渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险峻，黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。返回数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克提出了一个公式审美度=即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正比，与数学表现出的复杂性成反比。因此，按审美度要求，数学的表现形式越
7、简单就越美。格林公式斯托克斯公式返回空间解析几何中椭球椭圆抛物面它们不仅便于记忆，而且具有形式美。返回球3.语言简单数学的简单美表现在语言上使人回味无穷。如“负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不可数”；“角、边、角”；“边、角、边”等。数列极限函数极限导数概念返回4.方法简单数学中的许多简单有效的判定定理，形式优美的表达方式，并不是原本固有的，而是经过人们长期比较、筛选的结果。例如，对于正项级数的收敛性判别，达朗贝尔判别法(比值法)与柯西判别法(根式法)都是十分简单有效的判别法,然而它们都有一个共
8、同的不足，就是不能判别当极限值时级数的敛散性，于是人们不断地给出了许多其他形式的判别法。比达朗贝尔判别法更精细的是拉贝(Laber)判别法设则当r>1时，级数收敛；当r<1时，级数发散。返回然而，人们在应用泰勒公式时，最习惯使用的还是拉格朗日型余项其中在x与x0之间。返回又如，泰勒公式的余项，局部性的有皮亚诺(Peano)余项，整体性的有施诺米尔奇(Schlomilch)─罗赫(Roche)余项，柯西余项和拉格朗日余项等。在整体性余项中，后两种余项仅是前一种余项的特例
