递推数列与函数、方程及不等式综合的有关问题

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1、递推数列与函数、方程及不等式综合的有关问题福建省永定县第一中学简绍煌有关数列问题,递推数列常常是高考命题的热点之一.递推数列常常与函数、方程及不等式等相结合，构成综合性题目，为提高分析问题、解决问题的能力，有必要对其做一番探讨.1递推数列与方程之间的关系由方程给出的关系，求这类递推数列的通项公式一般是用公式法,即利用等而构造方程组解之.[例1]设数列{}满足．[解析]将代入题设，得．（这是关于的递推式，所以只能先求出，再求）∵∴，∴故有，∴．从而，∵不满足此式，故[例2]设是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的正整数与1的等比中项,求数列的通项公式.

2、[解析]解法一.依题意,有解法二.∴∴∴解法三.由已知可求得，猜想．再用数学归纳法证明之.2　数列与函数、不等式的综合问题［例３］已知函数．（１）求函数的反函数及其定义域；（２）数列满足：，数列的前n项和为，试比较当的大小，并证明您的结论．［解析］（１）∵，∴，即．　　∵，∴，或，∴，故，其定义域为．（２）∵，∴，即　①．又∴，故．对式①两边取对数，得，∴是以首项为，公比为２的等比数列，于是有，∴．故．（次式不易求和）而当，∴．（故可用放缩法证明之）故当．［例４］已知函数的最大值不大于，又当时．（１）求的值；（２）设，证明．［解析］（１）由于的最大值不大于，

3、又函数对称轴方程为，所以．　　　　　　　　　　①又当时，所以　解得．②　　由①和②得．（２）证法一．（Ⅰ）当成立；（因函数，故此结论不能用于递推，所以还需验证时的情形）∴．故当时不等式也成立．（Ⅱ）假设时，不等式成立，∵，知为单调递增函数，∴由得．于是有所以当时，不等式也成立．根据（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，对任何，不等式成立．证法二．（Ⅰ）当不等式成立；（Ⅱ）假设时，不等式成立，即．那么当时，．（这里考虑应用均值不等式）∵于是．因此当时，不等式也成立．根据（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，对任何，不等式成立．证法三．（Ⅰ）当成立；（Ⅱ）假设时，不等式成立，即．（由于函数对称轴方

4、程为，所以在证明递推式时放缩的关键在于以为分界）那么当时，若，则，　　　　　　　①若，则　　②由式①、②知，当时，不等式也成立．根据（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，对任何，不等式成立．［例５］自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用表示某鱼群在第n年年初的总量，，且x1>0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．（１）求与的关系式；（２）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（３）

5、设a＝2，c＝1，为保证对任意x1∈（0，2），都有，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论．［解析］（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为因此即（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于x1，n∈N*，从而由（１）式得因为x1>0，所以．猜测：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变．（Ⅲ）若b的值使得，由，知．特别地，有即．而，所以由此猜测b的最大允许值是1．（由特殊推广到一般）下证当x1∈(0,2)，b=1时，都有．①当n=1时，结论显然成立．②假设当n=k时结论成立，即．则当n=k+1时，．又∵，∴故当n=k+

6、1时结论也成立．由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有．综上所述，为保证对任意，都有，则捕捞强度b的最大允许值是1．以上就是递推数列与函数、方程及不等式综合应用常见的一些例子，解答这类问题时，除了要考虑函数性质外，由于递推关系，所以它还常常与数学归纳法结合在一起．有时它还反映了从特殊到一般的辨证过程．