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时间:2018-09-17
《《常微分方程》答案 习题1.2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题1.21.=2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。解:=2xdx两边积分有:ln
2、y
3、=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0原方程的通解为y=cex,x=0y=1时c=1特解为y=e.2.ydx+(x+1)dy=0并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。解:ydx=-(x+1)dydy=-dx两边积分:-=-ln
4、x+1
5、+ln
6、c
7、y=另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e特解:y=3.=解:原方程为:=dy=dx两边积分:x(1+x)(1+y)=
8、cx4.(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解:原方程为:dy=-dx两边积分:ln
9、xy
10、+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5.(y+x)dy+(x-y)dx=0解:原方程为:=-令=u则=u+x代入有:-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即ln(y+x)=c-2arctg.6.x-y+=0解:原方程为:=+-则令=u=u+xdu=sgnxdxarcsin=sgnxln
11、x
12、+c7.tgydx-ctgxdy=0解:原方程为:=两边积分:ln
13、siny
14、=-ln
15、cosx
16、-ln
17、c
18、
19、siny==另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8+=0解:原方程为:=e2e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解:原方程为:=ln令=u,则=u+xu+x=ulnuln(lnu-1)=-ln
20、cx
21、1+ln=cy.10.=e解:原方程为:=eee=ce11=(x+y)解:令x+y=u,则=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.=解:令x+y=u,则=-1-1=u-arctgu=x+cy-arctg(x
22、+y)=c.13.=解:原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y-y)-dx+x=cxy-y+y-x-x=c14:=解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0y+4y+x+10x-2xy=c.15:=(x+1)+(4y+1)+8xy解:原方程为:=(x+4y)+3令x+4y=u则=--=u+3=4u+13u=tg(6x+c)-1t
23、g(6x+c)=(x+4y+1).16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程,并由此求下列方程:1)y(1+xy)dx=xdy2)=证明:令xy=u,则x+y=则=-,有:=f(u)+1du=dx所以原方程可化为变量分离方程。1)令xy=u则=-(1)原方程可化为:=[1+(xy)](2)将1代入2式有:-=(1+u)u=+cx17.求一曲线,使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解:设(x+y)为所求曲线上任意一点,则切线方程为:y=y’(x-x)+y则与x轴,y轴交点分别为:x=
24、x-y=y-xy’则x=2x=x-所以xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程,其中=。解:由题意得:y’=dy=dxln
25、y
26、=ln
27、xc
28、y=cx.=则y=tgx所以c=1y=x.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明:设(x,y)为所求曲线上的任意一点,则y’=kx则:y=kx+c即为所求。
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