2011-2012学年第二学期高等数学(二.二)试卷答案

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1、天津科技大学2011-2012学年第二学期高等数学（二.二）期末试卷（A卷）参考答案及评分标准一、填空题（共15分，每小题3分）1.函数的全微分.2.设区域由曲线及围成，将二重积分化为先对，后对的二次积分是.3.若收敛级数的和为，则级数的和为．4.设，当满足时，级数条件收敛．5.微分方程的通解是.（其中为任意常数）二、单项选择题（共15分，每小题3分）1.函数的两个偏导数及在点处连续，是函数在点可微的（B）条件.(A)充分(B)必要(C)充分必要(D)既不充分也不必要2.点是函数的（A）.（A）驻点（B）极小值点（C）极大值点（D）不可微

2、点3.若级数收敛，则下列级数中一定收敛的是（D）.（A）（B）（C）（D）4.若幂级数的收敛半径为，则的收敛半径（A）.（A）等于（B）大于（C）小于（D）无法确定5.微分方程满足初始条件的特解是（D）.（A）（B）（C）（D）三、计算下列各题（共10分，每小题5分）1.设函数，求.解：因为2分，，4分所以.5分2.若函数由方程确定，求.解：（方法1）设1分，则，，3分于是4分.5分（方法2）方程两边同时对求导1分，有4分于是5分.四、某养鱼场放养甲、乙两种鱼苗，若甲种鱼苗放养（万尾），乙种鱼苗放养（万尾），其两种鱼的收获量分别为，，问两

3、种鱼各投放多少鱼苗时收获总量最大？并求最大收获量．（本题7分）解：设两种鱼的收获总量为，则（），2分由得唯一驻点4分，，，因为，，所以是极大值点，由于驻点唯一，它也是最大值点，从而当投放甲种鱼苗5（万尾）、乙种鱼3（万尾）收获量最大6分，最大收获量为（万尾）．7分五、解答下列各题（共18分，每小题6分，）1.计算二重积分，其中区域由曲线及围成．解：4分.6分2．计算二重积分，其中由圆周，及直线，围成的位于第一象限的闭区域．解：4分.6分3．交换二次积分的积分次序（必须画积分区域草图）.解：原式=.6分六、求解下列微分方程（共18分，每小题

4、6分）1．求微分方程的通解.解：方程化为，这是的一阶线性方程1分.通解为3分5分.6分2．求微分方程满足初始条件的特解．解：这是齐次方程，令1分，代入原方程，有，分离变量得3分，积分得（注：由初始条件知），通解为5分.由初始条件，有，得，方程特解为.6分3．求微分方程的通解．解：相应齐次方程的特征方程是，特征根为，1分相应齐次方程的通解是．2分这里（是单重特征根），，为此，设，4分将代入原方程，有，得，，5分所以，原方程的通解是.6分七、解答下列各题（共12分，每小题6分）1．求幂级数的收敛半径、收敛区间（不讨论区间端点处的收敛性）．解：

5、由2分，得收敛半径．3分当时，得；当时，得，5分所以，幂级数的收敛区间是.6分2．将函数展开为的幂级数．解：1分3分5分（）．6分八、证明级数收敛．（本题5分）证明：（方法1）先证明：当时，，为此设，则，当时，，于是单调减少，所以，即当时，．3分因为，这是正项级数，由，及收敛，得级数收敛．5分（方法1）因为2分（令），4分及收敛，得级数收敛．5分