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1、华东师范大学2004数学分析http://www.bossh.net博士家园顾问wuledan416一、（30分）计算题。1、求解：2、若求.解：3、求.解：=--=4、求幂级数的和函数.解:时=+=-=5、为过和的曲线,求=+++=6、求曲面积分,其中,取上侧.解：应用Gauss公式，并应用极坐标变换得：==.二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）1、若是互不相等的非无穷大数列，则至少存在一个聚点正确。在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少存在一个聚点2、若在上连续有界，则在上一致连
2、续.正确。证：在上连续有界，故与都有存在，不妨设为.设则在上连续，从而一致连续，故在上一致连续。3、若,在上可积，则.正确。证：,在上可积，故对且在上也可积，对故两边对分别取极限由夹逼性知.4、若收敛，则收敛.错误。反例收敛,但发散.5、若在上定义的函数存在偏导数,且,在(0,0)上连续，则在(0,0)上可微.正确证：==有,在(0,0)上连续，,当时，，根据定义，可知在(0,0)上可微.6、在上连续,若则解：错误将划分为两部分，其中取,由积分区间可加性知三、（15分）函数在上连续，且求证：在上有最大值或最小值。证：
3、1)若，显然在同时有最大、最小值.2)否则当或时定义，存在,使得或,或不妨设,(1)由在上连续,所以在上连续，由最值定理知存在,使得最大（或最小）.由（1）知因此当时,在上有最大值或最小值。四、（15分）求证不等式:证：令,则,对,有,因此在上单调递减且连续,又.故由介值定理知存在,使得那么在上单调递增,在上单调递减.因此可在端点处取得最小值,又.所以在上,即五、设,在上连续,且在上一致收敛于.若,.求证:使,,证:由函数列的每一项在连续且一致收敛于,可知在上也连续,因此有界.不妨设,因为对任意,有.所以在上一致收敛
4、于,即对对有当取时,有对上述则(1)式成立,且六、（15分）设满足（1）（2）级数收敛.求证:.证：级数收敛，由级数收敛的柯西准则：对任何,有(1)由于那么(2)而当充分大时,成立，故因此有.七、（15分）若函数在上一致连续，求证：在上有界.证:1)对,当充分大时,对且满足时有由极限存在的柯西准则知存在,不妨设为,对(1)式中取极限,有则存在,当时2)因为在上一致连续,则在上连续,所以在上有界.即存在有那么对有3)存在(2),(3)同时成立.即对有.八、（15分）设在有连续偏导数，而且对以任意点为中心，以任意正数为半
5、径的上半球面恒有求证:
