2004 华中科技大学 数学分析试题及解答

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1、华中科技大学2004年《数学分析》试题及解答以下每题15分1．设，（），（）．求级数之和．解由（），得．2．设，（）．证明（）．此估计式能否改进？证明将、在点（）用Taylor公式展开并相减，则得（），由于，因此得．此不等式可以改进为：（），因为时，上式．3．设有处处连续的二阶偏导数，．证明．证明4．设在上连续，在内可微，存在唯一点，使得，．设，（），，证明是在上的最大值．证明（反证法），假设不是在上的最大值。由于，存在，当时，。考察闭区域，显然，由已知在上连续，从而在上取得最大值，设为。显然在上，总有，因而必有：。当时，，因此是在上的最

2、大值。由假设，。这与已知矛盾，可知假设不真。5．设处处有．证明：曲线位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．证明设为曲线上任一点，在该点处曲线的切线方程为对曲线上任意点，按Taylor公式展开，得由知，当时，，而为唯一公共点．得证．6．求，是取反时针方向的单位圆周．解的参数方程：7．设是连续正值函数，．证明（）是严格单调减函数．证明，当因此，（）是严格单调减函数。8．设级数收敛，证明．证明由收敛知，在上一致收敛，从而左连续，即．对，有，于是．9．设在上连续，其零点为，．证明：积分收敛级数收敛．证明，若收敛，则，即收敛。若不收敛，同理可知

3、不收敛。10．设，在上连续，（），当时，在上一致收敛于．证明：至少存在一点，使得．证明由在上一致收敛于，得知在上连续，且数列收敛于，即，由于，得，至少存在一点，使得．注或用反证法：若对，有，由的连续性得，与上面相同证法，推出矛盾．