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《电子科技大学2004年数学分析试题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、电子科技大学2004年攻读硕士研究生入学试题考试科目：313《数学分析》注：应届生必做第一至十二题；往届生必做第一至十题，再在后四题中选做两题。一、填空题（每小题4分,共24分）1.=；解:.2.;解:.3.;解:令,4.若为球面与平面的交线,则第一型曲线积分为;解:根据对称性：而，，所以.5.设:,则.109解:令其中则,.1.设以4为周期,它在上的表达式为则的Fourier级数在上的和函数的表达式为;解:二、选择题（每小题4分,共24分）1.函数在.（A）不连续;（B）处处连续,但不一致连续;（C）一致连续,但导函数不一致连续;（D）导函数不
2、一致连续.1091.如果函数在点处的从到的方向导数为;从到的方向导数为,则函数在点处的梯度为.（A）;（B）;（C）;（D）.2.（A）（B）（C）（D）3.函数项级数的收敛域为.（A）;（B）;（C）;（D）.4.当时,为某一函数的全微分,则常数.（A）;（B）;（C）;（D）.5.设(),则.（A）;（B）;（C）;（D）.三、（10分）设(),,,求证明:⑴因为,.所以有下界.⑵当时,即,因此.假设,则.故根据数学归纳法知,.又因,所以单调减少有下界,从而收敛,设,在中令得,从而,(舍去),因此.109⑶当时,即,因此.假设,则.故根据数学
3、归纳法知,.又因,所以单调增加有上界0,从而收敛,设,在中令得,从而(舍去),,因此.综上所述:当时,;当时,.四、（10分）设在上可微,且,证明:,使得.证明:因为,所以,.令,则在上可微,且,..ⅰ>若,则,即,.ⅱ>若,则,使得.对,因为,所以,使得当时,有.又因,所以,使得当时,有.因为在上连续,所以在上有最大值,即,使得,有.从而,有,因此是在上的最大值.109又因故是在上的极大值,所以,即.五、（10分）设定义在,,又设,分别在,上连续且在,是的原函数.令其中选择使在处连续,就下列情况,回答是否是的原函数.⑴在处连续;⑵是的第一类间断
4、点;⑶是的第二类间断点.解:关键是考虑是否成立.⑴因为,所以是的原函数.⑵因为，，又因，所以不是的原函数.⑶不能判定是否是的原函数,例如:.当时,是的第二类间断点,取.当时,不存在,不是的原函数.当时,,是的原函数.六、（10分）设函数()是连续可导且严格增加函数,,.证明:.其中是的反函数,而等号当且仅当成立.109证明:令,则.从而.ⅰ>当且仅当时,.ⅱ>当时,,有,从而.ⅲ>当时,,有,从而.七、（10分）证明:曲面上的切平面都与某一直线平行,其中函数连续可微,不同时为0.证明:记则曲面的方程为.,,.因此曲面在其上任意一点处切平面的法向量
5、为.与某一直线的方向向量垂直,即,,当满足时,就有.可取.因此曲面在其上任意一点处切平面都与平行.八、（10分）计算,为实数.说明：当时,，可取，则在上连续，也在在上连续.因此所给含参量积分可在积分号下求导.109当时,瑕积分收敛.事实上，，而与都收敛.解:ⅰ>当时,.当时,.因此当时,.ⅱ>当时,109,又因为,所以.因此.,当时,.ⅲ>当时,则,.综上所述或.109令,则当时,,由于,故得.由此得因此当时,.九、（10分）计算,其中为,为常数,,常数.109解:令则,,.十、（10分）设流速,求下列情形的流量.⑴穿过圆锥形()的侧表面,法向量
6、朝外;⑵穿过上述圆锥面的底面,法向量朝外.解:⑴曲面:,则穿过上述圆锥面的底面,法向量朝外的流量为.⑵表示圆锥形()的侧表面,法向量朝外,则,其中表示圆锥形().因此穿过圆锥面的侧表面的流量为.以下题目应届生做第十一、十二题,往届生任选两题。十一、（11分）设,其中是参数,求的取值范围,使得函数序列在上:⑴一致收敛;⑵成立;⑶.解:当时,.109⑴令,得.从而因此当且仅当时,函数序列在上一致收敛.⑵,当且仅当时,.因此当且仅当时,成立.⑶,.当时,对任意的实数,成立.当时,当且仅当时,成立.因此当且仅当时,,.十二、（11分）设是周期为的函数,且
7、在区间上定义为,求的Fourier展开式,并利用此结果证明:,.解:,,.因此,.109当时,收敛于.当时,有,即,.因为,所以.十三、（11分）确定函数的连续范围.解:因为,又因当时收敛,所以当时瑕积分收敛.因为,又因当时收敛,所以当时瑕积分收敛.因此当时瑕积分收敛.由于,瑕积分在上一致收敛,故在上连续.十四、（11分）叙述Bolzano—Weierstrass定理(致密性定理)和闭区间上连续函数的有界性定理,并用致密性定理证明有界性定理.109
