导数中有关单调区间问题

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1、导数中有关单调区间问题一、相关结论1、已知在D上单调递增(或递减)恒成立问题;2、求的单调增区间(或减区间)解不等式问题:;3、存在单调增区间(或减区间)有解;4、在D上不单调的图像在区间D内部穿过x轴的至少有一个非重根在区间内部。二、经典范例例1、(09浙江文科)已知函数f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a,bR).(I)若函数f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;(Ⅱ)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围。解析:(Ⅰ)由题意得又,解得,或(Ⅱ)函数

2、在区间不单调,等价于导函数在既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数即函数在上存在零点,有。练习1:(2009浙江理)已知函数,,其中.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(I)设函数.若在区间上不单调,求的取值范围;(II)设函数是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一的非零实数(),使得成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解析:(I)因,,因在区间上不单调,所以在上有实数解,且无重根,由得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第7页共7页,令有,记则在上单调递减,在上单调递增,所以有,于是,得,

3、而当时有在上有两个相等的实根,故舍去,所以;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(II)当时有;当时有,因为当时不合题意,因此,下面讨论的情形,记A,B=(ⅰ)当时,在上单调递增,所以要使成立,只能且,因此有,(ⅱ)当时,在上单调递减,所以要使成立,只能且,因此,综合(ⅰ)(ⅱ);当时A=B,则,即使得成立,因为在上单调递增,所以的值是唯一的;同理,,即存在唯一的非零实数,要使成立,所以满足题意.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m例2、(2009北京理)设函数(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单

4、调区间;(Ⅲ)若函数在区间内单调递增,求的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.(Ⅰ),曲线在点处的切线方程为.(Ⅱ)由,得,第7页共7页若,则当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,若,则当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,若,则当且仅当,即时,函数内单调递增,综上可知,函数内单调递增时,的取值范围是.例3、(2009安徽卷文)已知函数,a>0,w.w.w.k.s.5.

5、u.c.o.m(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)设a=3,求在区间[1,]上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。【解析】(1)由于令w.w.w.k.s.5.u.c.o.m①当,即时,恒成立.在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.②当,即时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由得或w.w.w.k.s.5.u.c.o.m或或又由得第7页共7页综上①当时,在上都是增函数.②当时,在上是减函数,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又w.w.w

6、.k.s.5.u.c.o.m函数在上的值域为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m练习2、(2009安徽卷理)已知函数,讨论的单调性.解:的定义域是(0,+),w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设,二次方程的判别式.①当,即时,对一切都有,此时在上是增函数。②当,即时,仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。③当,即时,方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.例4、已知函数第7页共7页(I)若时,求的极值;(Ⅱ)若存在的单调递减区

7、间,求的取值范围;(Ⅲ)若图象与轴交于,的中点为,求证:解:(I)当时,由或。x(0,1)1+—单调递增极大值单调递减时,,无极小值。(Ⅱ)存在单调递减区间,在内有解,即在内有解。若,则,在单调递增,不存在单调递减区间;若,则函数的图象是开口向上的抛物线,且恒过点(0,1),要使在内有解,则应有或,由于,;若,则函数的图象是开口向下的抛物线,且恒过点(0,1),在内一定有解。综上,或。(Ⅲ)依题意:,假设结论不成立,则有①—②,得由③得,第7页共7页即设,则,令,在(0,1)上为增函数。,即,与④式矛盾假设不成

8、立,例5、设函数(I)若当时,取得极值,求的值,并讨论的单调性;(II)若存在极值,求的取值范围,并证明所有极值之和大于.解:(Ⅰ),依题意有,故.从而.的定义域为,当时,;当时,;当时,.从而,分别在区间单调增加,在区间单调减少.(Ⅱ)的定义域为,.方程的判别式.(ⅰ)若,即,在的定义域内,故的极值.(ⅱ)若,则或.若,,.第7页共7页当时,,当时,,所以无极值.若,,,也无极值.(

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