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1、导数中有关单调区间问题一、相关结论1、已知在D上单调递增（或递减）恒成立问题；2、求的单调增区间（或减区间）解不等式问题：；3、存在单调增区间（或减区间）有解；4、在D上不单调的图像在区间D内部穿过x轴的至少有一个非重根在区间内部。二、经典范例例1、（09浙江文科）已知函数f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a,bR).（I）若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f(x)在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围。解析：（Ⅰ）由题意得又，解得，或（Ⅱ）函数在区
2、间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数在上存在零点，有。练习1：（2009浙江理）已知函数，，其中．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第7页共7页，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有
3、在上有两个相等的实根，故舍去，所以；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（II）当时有；当时有，因为当时不合题意，因此，下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m例2、（2009北京理）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ
4、）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得，第7页共7页若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.例3、（2009安徽卷文）已知函数，a＞0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（
5、Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设a=3，求在区间[1，]上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。【解析】(1)由于令w.w.w.k.s.5.u.c.o.m①当,即时,恒成立.在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.②当,即时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由得或w.w.w.k.s.5.u.c.o.m或或又由得第7页共7页综上①当时,在上都是增函数.②当时,在上是减函数,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又w.w.w.k.s.5.u.c
6、.o.m函数在上的值域为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m练习2、（2009安徽卷理）已知函数，讨论的单调性.解：的定义域是(0,+),w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设,二次方程的判别式.①当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。②当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。③当，即时，方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.例4、已知函数第7页共7页（I）若时，求的极值；（Ⅱ）若存在的单调递减区间，求的取值范围；（Ⅲ）
7、若图象与轴交于，的中点为，求证：解：（I）当时，由或。x(0,1)1+—单调递增极大值单调递减时，，无极小值。（Ⅱ）存在单调递减区间，在内有解，即在内有解。若，则，在单调递增，不存在单调递减区间；若，则函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点（0，1），要使在内有解，则应有或，由于，；若，则函数的图象是开口向下的抛物线，且恒过点（0，1），在内一定有解。综上，或。（Ⅲ）依题意：，假设结论不成立，则有①—②，得由③得，第7页共7页即设，则，令，在（0，1）上为增函数。，即，与④式矛盾假设不成立，例5、设函数（I）若当时
8、，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为，当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．（ⅱ）若，则或．若，，．第7页共7页当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（
