二次函数与极值函数的类比

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1、二次函数与极值函数的类比教学“数学是锻炼思维的体操”，数学思维不仅有生动活泼的探究过程，其中还包括想象、类比、联想、直觉、等方面。高中数学新课程许多知识不是抛弃旧知识，而是在新课程理念下的类化与提升。在开展教学时不能穿新鞋走老路，探究适合新课程理念下的有效教学已势在必行。本文主要对“二次函数”进行回顾与剖析，结合近几年的高考，传统法与导数法进行对比，揭示本质、展望趋势、探索规律，以便更好认识“二次函数”的本质，用导数思想武装二次函数，把握新高考，服务教学。类比探究一：函数的单调性利用函数的单调性解不等式、求最值、比较大小是时下的一个话题。自2000年高考以来函数的单调性切入点在变

2、化，主要以考查参数的取值范围为主，二次函数的单调性基本退出舞台。对于简单二次函数试题可以尝试用导数的方法，对于导数试题可以参试二次函数思想。例1已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，求a的取值范围。传统法导数法二次函数开口向上，对称轴为x=l－a∴1－a≥4，即a≤-3y′=2x+2(a-1)≤0在(-∞，4]恒成立∵y′=2x+2(a-1)在(-∞，4]单调递减∴当x--4时取到最大值：8+2(a-1)≤0即a≤-3点评：两种解法都比较通俗，各有各的优点，传统法体现二次函数特有的性质，导数法体现一般函数的解法。例2设f(x)=(a>0)（1）解

3、不等式：f(x)≤1（2）求a的取值范围，使函数f(x)在[0,+]是单调函数。分析：本题是2000年高考试题，如果用传统法，则须猜测结论，然后利用单调性进行证明，因结论的不确定性，所以难度大、得分率低。新教材高考已经多年，利用导数解决函数单调性问题己成为高考必考题，我们需要对这一方面进行研究—从导数思想出发。略解：y′=g(x)=令t=x2+1则y′＝(t≥1)∴y′∈[-a,1-a]Ⅰ、当a∈(0,1)时，导函数y=g(x)在[0,+∞]内时正时负，即原函数在[0,+∞]内不具备单调性。Ⅱ、当a∈[0,+∞]寸，导函数y=g(x)在[0,+∞]内恒负，即原函数在[0,+∞]内

4、单调性递减。点评：传统二次函数处理方法，先判断开口方向，然后考虑对称轴相对于区间的位置；极值函数处理方法，先求导，然后转化为不等式恒成立问题。第5页共5页已知函数求单调区间转化为解不等式；已知函数单调区间求参数的取值范围转化为不等式恒成立问题。类比探究二：一元二次函数在区间上的值域一元二次函数在区间上的值域问题是初、高中教材的一个衔接点，也是高一学生的难点，特别是对称轴和区间同时是变量时，对普高的学生来讲是一个不可跨跃的知识难点。本人进行多年尝试，哪怕上一周，反复讲、讲反复，效果都不佳，近三分之二学生不理解，直到2003年10月导数学完后，用导数思想理解二次函数在区间上的值域，用

5、导数这工具解决二次函数在区间上的值域，得到很好的效果。例3(2002年全国卷)设a为实数，函数f(x)=x2+

6、x-a

7、+1（1）讨论函数的奇偶性（2）求y=f(x)的最小值分析：①略②f(x)=考虑①分段函数有两个极值点：xl=-0.5，x2=0.5；②端点x=a；③开口向上。∴函数y=f(x)的最小值只能在f(0.5)，f(0.5)，f(a)三者中选择点评：本题利用极值思想方法独特、思路清晰，由未知向已知转化、由不熟悉向熟悉转化、由复杂向简单转化、由抽象向具体转化，用这种方法相当于转化为三个数的大小比较，在现实生活中相当于三个人的年龄大小比较。例4已知a是实数，函数。（1）求

8、函数的单调区间；（2）设为在区间上的最小值。（i）写出表达式；（ii）求的取值范围，使得。分析：⑴、略⑵、（为帮助理解采用二次函数类比教学，选择函数y=3x2-2ax+1x∈[0，2]与x∈[0，2]）二次函数y=3x2-2ax+1x∈[0，2]极值函数x∈[0，2]极值点与对称轴开口向下，有最小值，对称轴x=极小值点x=对称轴（极值）在区间左侧⑴、对称轴x=⑴、极值点x=第5页共5页在区间[0，2]的左侧，函数y=f(x)在区间[0，2]递增，即x=0取最小值在区间[0，2]的左侧，函数y=f(x)在区间[0，2]递增，即x=0取最小值对称轴（极值）在区间内⑵、对称轴x=在区间

9、[0，2]的内，函数y=f(x)在x=取最小值⑵、极值点x=在区间[0，2]的内，函数y=f(x)在x=取最小值对称轴（极值）在区间右侧⑶、对称轴x=在区间[0，2]的右侧，函数y=f(x)在区间[0，2]递减，即x=2取最小值⑶、极值点x=在区间[0，2]的右侧，函数y=f(x)在区间[0，2]递减，即x=2取最小值点评：处理此问题基本思路是把它转化为三个数(或两个)比较大小，然后解不等式：如求y=x2-2ax+lx∈[-1，1]的最大值，由高三课本导数章节可知，x=a是函数的