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《高中数学 2.5 等比数列的前n项和教案2 新人教a版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.5 等比数列的前n项和教学过程推进新课［合作探究］师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+qn=？师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.生观察、独立思考、合作交流、自主探究.师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？生q+q2+…+qn+qn+1.生每一项就成了它后面相邻的一项.师对上面的问题的解决有什么帮助吗？师生共同探索：如果记Sn=1+q+q2+…+qn,那么qSn=q+q2+…+qn+qn+1.要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-
2、q)Sn=1-qn.师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.生如果q≠1，则有.师当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.生如果q＝1，那么Sn=n.师上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？课件展示：a1+a2+a3+…+an=？［教师精讲］师在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.师在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记Sn=a1+
3、a2+a3+…+an,那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.师再次提醒学生注意q的取值.如果q≠1，则有.师上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q≠1，则有.师上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上
4、，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.师现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？生独立思考、合作交流.生如果q＝1，Sn=na1.师完全正确.如果q＝1，那么Sn=nan正确吗？怎么解释？生正确.q＝1时，等比数列的各项相等
5、，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.师对了，这就是认清了问题的本质.师等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：［合作探究］思路一：根据等比数列的定义，我们有：,再由合比定理，则得,即,从而就有(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略)思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an),从而得(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略)师探究中我们们应该发现，Sn-Sn-1=an是一
6、个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？生n＞1.师对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-Sn-1=an，n＞1.师综合上面的探究过程，我们得出：或者［例题剖析］【例题1】求下列等比数列的前8项的和：(1),,,…；(2)a1=27,a9=,q＜0.［合作探究］师生共同分析：由(1)所给条件，可得，,求n＝8时的和，直接用公式即可.由(2)所给条件，需要从中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而a9=a1q8，所以由条件可得q8==，再由q＜0，可得，将所得
7、的值代入公式就可以了.生写出解答：(1)因为,，所以当n＝8时，.(2)由a1=27,，可得，又由q＜0，可得,于是当n＝8时，.【例题2】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？师根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30000求n的问题.生理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每
8、年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.于是得到,整理得1.1n=1.6,两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,用计算器算得≈≈5(年).
