应用数学课件函数的微分学

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1、第二节　导数的四则运算法则一、导数的四则运算二、偏导数的求法第三章　函数的微分学定理1设函数u(x)、v(x)在x处可导，在x处也可导，(u(x)v(x))=u(x)v(x);(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x);一、导数的四则运算且则它们的和、差、积与商证上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个．因为u(x+x)-u(x)=u，即u(x+x)=u(x)+u，同理有v(x+x)=v(x)+v.y=u(x)v(x)，令则y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x)=[u(

2、x)+u]·[v(x)+v]-u(x)v(x)=u(x)v+v(x)u+uv.所以推论1(cu(x))=cu(x)(c为常数).推论2解根据推论1可得(3x4)=3(x4)，(5cosx)=5(cosx)，(cosx)=-sinx，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4-ex+5cosx-1)=(3x4)-(ex)+(5cosx)-(1)=12x3-ex-5sinx.f(0)=(12x3-ex-5sinx)

3、x=0=-1又(x4)=4x3，例1设f(x)=3x4–ex+5c

4、osx-1，求f(x)及f(0).例2设y=xlnx，求y.解根据乘法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)+(x)lnx解根据除法公式，有例3设求y.例4设f(x)=tanx，求f(x).即同理可得(tanx)=sec2x.(cotx)=-csc2x.解例5设y=secx，求y.解根据推论2，有即同理可得(secx)=secxtanx.(cscx)=-cscxcotx.另外可求得(以后补证)例6在点(2,1)处的两个偏导数.解因为所以一、偏导数的求法例7求证：证明因为将它们代入等式左边得所以例8设类

5、似地可以求得必须分别按定义计算，求g(x,y)在(0,0)处的两个偏导数，解3.偏导数的几何意义我们知道一元函数y=f(x)的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处切线的斜率，而二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，因此二元函数z=f(x,y)的偏导数的几何意义也是曲线切线的斜率.实际上就是一元函数z=f(x,y0)及z=f(x0,y)分别在点x=x0及y=y0处的导数．在点(x0,y0,f(x0,y0))处的切线的斜率，在点(x0,y0,f(x0,y0))处的切线的斜率,同理是曲线