高中数学 2-1 第1课时正弦定理同步导学案 北师大版必修5

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1、第二章　解三角形本章概述●课程目标1.双基目标（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题.2.情感目标（1）通过对任意三角形边角关系的研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力及分析问题和解决问题的能力.（2）通过解决一些实际问题，培养同学们的数学应用意识，激发同学们学习数学的兴趣，感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活.（3）正弦定理、余弦定理的探索和验证、使用计算器进行

2、近似计算等.一方面，同学们借助技术手段，从事一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养同学们的探索精神和创新精神；另一方面，借助计算器可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要进行近似计算，有利于激发同学们学习数学的兴趣.●重点难点重点：运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，运用这两个定理解决一些测量以及与几何计算有关的实际问题.难点：正、余弦定理的推导以及运用正、余弦定理解决实际问题.●方法探究1.注重知识形成的过程，通过从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，引导我们从猜想、验证到证明等环节自主研究，从而养成良好的学习习惯.

3、2.注重数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力.3.学习本章应注意的问题（1）重视数学思想方法的运用.解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用.（2）加强新旧知识的联系.本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系.同时要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力.（3）提高数学建模能力.利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成

4、解三角形模型.§1　正弦定理与余弦定理第1课时　正弦定理知能目标解读1.通过对特殊三角形边长和角度关系的研究，发现正弦定理，并初步学会这种由特殊到一般的思想方法来发现数学中的规律.2.掌握用向量法证明正弦定理的方法，并能用正弦定理解决一些简单的三角形相关的度量问题.3.学会用三角函数及计算器求解一些有关解斜三角形的近似计算问题.重点难点点拨重点：正弦定理的证明及利用正弦定理解题.难点：已知三角形的两边和其中一边的对角，判定三角形解的情况.学习方法指导一、正弦定理1.正弦定理指出了任意三角形的三边与对应角的正弦之间的关系式.结合正弦函

5、数在区间上的单调性知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中的边与角的一种数量关系.2.正弦定理的证明正弦定理的证明，教材上通过构造向量投影相等的方法进行了证明.除此之外，还可以运用向量法和三角函数定义法给予证明.方法一：建立直角坐标系，借助三角函数的定义进行证明.在如图所示的直角坐标系中，点B,C的坐标分别是B（ccosA,csinA）,C(b,0).于是S△ABC=bcsinA.同理S△ABC还可以表示成absinC和acsinB.从而可得==.方法二：如图所示：当△ABC为锐角三角形时，设边AB上的高为CD，根据三角函数的定义

6、，有CD=bsinA,CD=asinB,所以bsinA=asinB,即＝;同理可得=.所以＝＝.如下图所示，当△ABC为钝角三角形时，设A为钝角，AB边上的高为CD，则CD=asinB,CD=bsin(180°－A)=bsinA.所以asinB=bsinA,　即＝;同理＝.所以＝＝.当△ABC为直角三角形时，上式也成立.方法三:如下图所示：过A作单位向量j垂直于.由+=，两边同乘以单位向量j,得j·（+）=ｊ·.则j·+j·=j·.∴１j

7、

8、

9、cos90°+

10、ｊ

11、

12、

13、cos(90°-C)=

14、j

15、

16、

17、cos(90°-A).

18、∴asinC=csinA.∴=.同理，过C作j垂直于，得=,∴==.二、利用正弦定理解三角形的类型（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC中，已知a,b和∠A时，解的情况如下：.∠A为锐角∠A为钝角或直角图　形关系式①a=bsinA２a≥bbsinAba≤b解的个数一解两解无解一解无解三、三角形常用面积公式（1）S=aha（ha表示边a上的高）；（2）S=absinC=bcsinA=acsinB；　　(3

19、)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).四、应用正弦定理的解题规律1.正弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具.同时在三角形中与三角函数、平