§4.2 病人候诊问题

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1、§4.2病人候诊问题1）问题的提出某私人诊所只有一位医生，已知来看病的病人和该医生的诊病时间都是随机的。若病人的到达服从泊松分布且每小时有4位病人到来，看病时间服从负指数分布，平均每个病人需要12分钟。试分析该诊所的工作状况。（即求该诊所内排队候诊病人的期望，病人看一次病平均所需的时间，医生空闲的概率等等）2）模型的准备本题是典型的排队论问题，也是一个典型的单通道服务排队系统。排队论也称随机服务系统理论，它涉及的排队现象非常广泛：如病人候诊，顾客到商店购物，轮船入港，机器等待修理等等。排队论的目的是研究排队系

2、统的运行效率，估计服务质量，在顾客和服务机构的规模之间进行协调，以决定系统的结构是否合理，权衡决策，使其达到合理的平衡状态。在排队论中，判断系统运行优劣的基本数量指标通常有：（1）排队系统的队长，即指排队系统中的顾客数，它的期望值记为L。相应的排队系统中等待服务的顾客数，其期望值记为。显然，L或大，说明服务效率越低。（2）等待时间，即指一顾客在排队系统中等待服务的时间，其期望值记为。相应的，逗留时间是指一个顾客在排队系统中停留的时间，即从进入服务系统到服务完毕的整个时间。其期望值记为W。（3）忙期，指从顾客到

3、达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲止这段时间长度，即服务机构连续工作的时间长度。另外还有，服务设备利用率，顾客损失率等一些指标。排队论中的排队系统有下列三部分组成：（1）输入过程，即顾客来到服务台的概率分布。在输入过程中要弄清顾客按怎样的规律到达。（2）排队规则，即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是当服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是当服务台被占用时顾客便排队等待服务。等待制服务的次序规则有先到先服务，随机服务，有优先权的先服务等。（3）服务机构，其主要特征为服务台

4、的数目，服务时间的分布。服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，但通常假定服务时间的分布是平稳的。要解决这里的病人候诊问题，只要分析排队论中最简单的单服务台排队问题即可。所谓单服务台是指服务机构由一个服务员组成，对顾客进行单独的服务。下面通过对这类问题的分析和讨论来解决病人候诊问题。3）模型假设1． 顾客源无限，顾客单个到来且相互独立，顾客流平稳，不考虑出现高峰期和空闲期的可能性。2．排队方式为单一队列的

5、等待制，先到先服务。队长没有限制。3．顾客流满足参数为的泊松分布，其中是单位时间到达顾客的平均数。4．各顾客的服务时间服从参数为的负指数分布，其中表示单位时间内能服务完的顾客的平均数。5．顾客到达的时间间隔和服务时间是相互独立的。4）模型的分析与建模为了确定系统的状态，引入(t)表示在时刻t时排队系统中有n个顾客的概率。由假设知，当充分小时，在[]时间间隔内：有一个顾客到达的概率为，有一个顾客离开的概率为，多于一个顾客达到或离开的概率为，可忽略。在[]时刻系统内有n个顾客的状态可由下列四个互不相容的事件组成：

6、（1）t时刻有n个顾客，在[]内没有顾客到来，也没有顾客离开，其概率为；（2）t时刻有n个顾客，在[]内有一个顾客到来，同时也有一个顾客离开，其概率为；（3）t时刻有n-1个顾客，在[]内有一个顾客到来，没有顾客离开，其概率为；（4）t时刻有n+1个顾客，在[]内没有顾客到来，有一个顾客离开，其概率为。因此，在t+时刻，系统中有n个顾客得概率为满足：令得（）考虑特殊情形：当n=0时，即在时刻时系统内没有顾客的状态，同理，它由以下三个互不相容的事件组成：（1）t时刻系统中没有顾客，在[]内没有顾客来，概率为；（

7、2）t时刻系统中没有顾客，在[]内有一个顾客到达，接受完服务后又离开，其概率为（3）t时刻系统内有一个顾客，在[]内该顾客离开，没有顾客来，其概率为因此就得到系统状态应服从的模型：5)模型求解为评估系统的服务质量，判断其运行特征，需要根据上面的模型求解该系统的如下运行指标：系统中平均顾客数L，系统中平均正在排队的顾客数，顾客在系统中平均逗留时间W，顾客平均排队等待的时间，系统内服务台空闲的概率，即顾客来后无需等待的概率。所求得的模型，是有无限个方程组成的微分方程组，求解相当麻烦。在实际的应用中，我们只需要知道

8、系统在运行了很长时间后的稳态解，即假设当t充分大时，系统的概率分布已不随时间变化，达到了统计平衡。在稳态时,与t无关,,,从而得到一差分方程：(1)令，它表示平均每单位时间内系统可以为顾客服务的时间比例，它是刻画服务效率和服务机构利用程度的重要标志，称为服务强度。我们的问题求解将在<1的条件下进行，否则系统内排队的长度将无穷增大，永远不能达到稳定状态。由差分方程（1），得又由概率的性质和<1，得从而