数学建模病人候诊问题

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1、2013年浙江理工大学数学建模竞赛封面B（在相应的题号上打钩）姓名年级（注1）专业手机号（注1》：须注明本科生或研究生及年级浙江理工大学理学院数学建模实践基地二零一三年三月病人候诊问题摘要木文针对病人候诊问题，通过采用服从泊松分介的病人到达率和服从负指数分亦的看病时间，建立病人候诊单服务台的排队模型，來分析诊所的工作状态。针对问题一，我们假设病人到达率服从泊松分布，痫人的看病时间服从负指数分布，诊所容量无限，引入排队论原理和“生灭过程”状态方程表达出病人排队看病过程，编写LINGO程序来运算得到该诊所内排队候诊病

2、人的数学期望，病人每看一次病平均所花费的吋间、医生空闲的概率，以及排队队长。同吋通过模型分析，给出了最优服务率（即病人看病时间）的求解方程式。针对问题二，我们在W题一的基础上将模型进行推广，在M题一的基础上限制诊所的容量，通过计算得出了诊所A排队候诊病人的数学期帶，病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率，以及排队队长的表达式，将数裾代入得到最盾的结论。编写LING◦程序方便求解。得出最优服务率的方程式。关键字：泊松分布，负指数分布，容量，排队论，生灭过程，LINGO,最优服务率。、问题的提出某私人诊所只宥

3、一位医生，已知来看病的病人和该医生的诊病时间都是随机的，若病人的到达服从泊松分布且每小时有4位病人到来，看痫时间服从负指数分布，平均每个病人需要12分钟。试分析该诊所的工作状况，即求出该诊所内排队候诊病人的数学期望，病人每看一次病平均所花费的吋间、医生空闲的概率等。二、模型的准备本题是单服务台的排队模型，排队是日常生活中常见的一种现象，其特点是：在一个排队服务系统屮包含有一个或多个“服务设施”，有许多需要进入服务系统的“被服务者”或“顾客”，当被服务者进入系统后不能立即得到服务，也就出现排队现象。由于“被服务者”

4、到达服务系统的时间不确定，是随即的,所以排队论又称为“随即服务系统理论”，因此，排队论在实际屮有着广泛的应用。如：病人候诊，顾客到商店购物，轮船入港，机器等待修理。排队论主要研究的内容是性态问题，最优化问题和排队系统的统计推断。排队论中的排队系统士下列三部分组成：(1)输入过程，即顾客来到服务台的概率分布。在输入过程中耍弄清顾客按怎样的规律到达。(2)排队规则，即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制W种。所谓即吋制就是当服务台被占用吋顾客便随即离去；等待制就是当服务台被占用吋顾客便排队等待服务。等待

5、制服务的次序规则冇先到先服务，随机服务，宥优先权的先服务等。(3)服务机构，其主耍特征为服务台的数目，服务时间的分布。服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。和输入过程一样，多数的服务吋间都是随机的，侶通常假定服务吋间的分布是平稳的。排队论主耍是研究排队系统运行的效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是杏合理、研究设计改进措施。因此，研究排队问题，首先要确定用以判断系统运行优劣的基本量化指标，然后求出这些指标的概率分布和数学特征。要

6、研究的系统运行指标主要有：(1)队长指在系统中的顾客数，期望值记作(2)排队长(队列长)指在系统中等待服务的顾客数，其期望值记作1^，即Ls=Lq+Ln，其中£，为正在接受服务的顾客数；(3)逗留时间指一个顾客在系统中的停留时间，其期望值记作VKd(4)等待时间指一个顾客在系统中排对等待的时间，其期错值记作vr。，即Ws=W/+a，冗屮a为服务时间；(1)忙期服务机构连续工作的时间长度，记作7；;(1)损失率由丁系统的条件限制，使顾客被拒绝服务而使服务部门受到损失的概率，用表示；(2)服务强度绝对通过能力A,表

7、示单位吋间内被服务完顾客的均值，或称为平均服务率；相对通过能力Q，表示中.位吋间内被服务完的顾客数与请求服务的顾客数之比值。要解决这里的病人候诊问题，只耍分析排队论屮最简单的单服务台排队问题即可。所谓单服务台是指服务机构由一个服务员组成，对顾客进行单独的服务。下面通过对这类问题的分析和讨论来解决病人候诊问题。三、模型假设(1)顾客源无限，顾客单个到来且相互独立，顾客流平稳，不考虑出现高峰期和空闲期的可能性。(2)排队方式为争一队列的等待制，先到先服务。队长没有限制。(3)顾客流满足参数为A的泊松分布，其中A是单位

8、时问到达顾客的平均数。(4)各顾客的服务吋间服从参数为p的负指数分布，.其中A表示单位吋间内能服务完的顾客的平均数。(5)顾客到达的时间间隔和服务时间是相互独立的。Ui模型的分析与建模确定系统在任意吋刻t的状态为n的概率⑴。由假设知，当&充分小吋，在［t，t+2V］时间间隔内：有一个顾客到达的概率为：没宥一个顾客到达的概率为：！一；有一个顾客被服务完的概率为：pA^o(A