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1、立体几何中的角专题(1)——线线角1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是()A.4条B.6条C.8条D.10条解析:如图这样的直线有4条,另外,这样的直线也有4条,共8条.2.如图所示,已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成角的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°解析:平移SC到,运用余弦定理可算得3.已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B⊥CB1,则A1B与AC1所成的角为()A.450B.600C.900
2、D.1200C解析:作CD⊥AB于D,作C1D1⊥A1B1于D1,连B1D、AD1,易知ADB1D1是平行四边形,由三垂线定理得A1B⊥AC1,选C.4.在正方体A1B1C1D1—ABCD中,AC与B1D所成的角的大小为()A.B.C.D.解析:B1D在平面AC上的射影BD与AC垂直,根据三垂线定理可得.5.如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C为其上的三个点,则在正方体盒子中,∠ABC等于()A.45°B.60°C.90°D.120°解析:如图6.若a,b,l是两两异面的直线,a与b所成的角是,l
3、与a、l与b所成的角都是,则的取值范围是()A.[]B.[]C.[]D.[]解析:当l与异面直线a,b所成角的平分线平行或重合时,a取得最小值,当l与a、b的公垂线平行时,a取得最大值,故选D.7.如图,正四面体(空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等)中,分别是棱的中点,则和所成的角的大小是________.解析:设各棱长为2,则EF=,取AB的中点为M,即8.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB,E、F分别是BD1和AD中点.求异面直线CD1、EF所成的角;解析:∵在平行四边形中,E也是的
4、中点,∴,∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,长方体的侧面都是正方形∴D1CCD1∴异面直线CD1、EF所成的角为90°.9.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点,EF=,求AD与BC所成角的大小.解析:取BD中点M,连结EM、MF,则10.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为棱AA1和BB1的中点,求异面直线CM与D1N所成角的正弦值.解析:取DD1中点G,连结BG,MG,MB,GC得矩形MBCG,记MC∩BG=
5、0则BG和MC所成的角为异面直线CM与D1N所成的角.而CM与D1N所成角的正弦值为11.设空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点,若AB＝12,CD＝4,且四边形EFGH的面积为12,求AB和CD所成的角.解析:由三角形中位线的性质知,HG∥AB,HE∥CD,∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.∵ EFGH是平行四边形,HG＝AB＝6,HE＝,CD＝2,∴ SEFGH＝HG·HE·sin∠EHG＝12sin∠EHG,∴12sin∠EHG＝12.∴ sin∠EHG＝,故∠EH
6、G＝45°.∴ AB和CD所成的角为45°12.点A是BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=AD,求异面直线AD和BC所成的角.(如图) 解析:设G是AC中点,连接DG、FG.因D、F分别是AB、CD中点,故EG∥BC且EG=BC,FG∥AD,且FG=AD,由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角,即∠EGF为所求.由BC=AD知EG=GF=AD,又EF=AD,由余弦定理可得cos∠EGF=0,即∠EGF=90°.13.已知
7、空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点. 求:AM与CN所成的角的余弦值;解析:(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E,则∠CNE为AM与CN所成的角.∵N为AD的中点,NE∥AM ∴NE=AM且E为MD的中点.设正四面体的棱长为1,则NC=·=且ME=MD=,在Rt△MEC中,CE2=ME2+CM2=+=,∴cos∠CNE=,又∵∠CNE∈(0,),∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为.14.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、F分别是BC、AD上的点,
8、已知AB=4,CD=20,EF=7,.求异面直线AB与CD所成的角.解析:在BD上取一点G,使得,连结EG、FG在ΔBCD中,,故EG//CD,并且,所以,EG=5;类似地,可证FG//AB,且,故FG=3,在ΔEFG中,利用余弦定理可得cos∠FGE=,故∠FGE=120°.另一方面,由前所得EG//CD,FG//AB,所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角,于是AB与CD所
