解排列组合应用题的解法技巧

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1、解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法注：数量不大时可以逐一排出结果。3、解排列组合问题的

2、依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五.排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法一.运用两个基本原理加

3、法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n个人通过，有种结果。所以一共有种可能的结果。解法2：用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。所以一共有种可能的结果。例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种解：设四个人分

4、别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：（1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有种分配方式。二.特殊元素（位置）优先----(优待法)所谓“优待法”是指在解决排列组合问题时，对于有限制条件的元素(或位置)要优先考虑．例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？解：个位选0，有个，个位不选0且万位不能选0，有个，所以一共可

5、以得到个偶数。注0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。例4：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？解：先排甲，有种排法。再排乙，有种排法，再排其余的人，又有种排法，所以一共有种排法。【eg】在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有()个．（解法一）　元素优先数字0、1、2、3、4、5中含有0元素，组成四位数时，0不能放在首位．又所求四位数不能被5整除，因而可以根据是否含有0和5两个元素将所求四位数分成四类：第一类：含0不含5的四位数，共有=48(个)；第二类：含5不含0的四位

6、数，共有=72(个)；第三类：含0也含5的四位数，共有＝48(个)；第四类：不合0也不含5的四位数，共有＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个).（解法二）　位置优待根据所求四位数对首末两个位置的特殊要求可以分步解答：第一步：排个位——个位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中任选一个，共有种选法；第二步；排首位——首位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字被个位选掉后剩余的三个数字及数字5中任选一个，共有种选法；第三步：排中间两位，中间两柱可以从个位和首位排好后剩余的数字四个数字中任选两个，共有种排法．所以符合条件的四位数共有=4×4×4×

7、3=192(个)．〔注〕这道例题是典型的限制排列组合题．解题时，若从元素入手(即元素优先)，常要分类讨论，分类时要注意堵漏防重；若从位置入手(即位置优待1，常要分步解答，分步时要注意分步完整，各步相连．三.捆绑法在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．例5：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？解：把甲、乙、丙先排好，有种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个