解排列组合问题的策略

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1、解排列组合问题的策略　　要正确解答排列组合问题，第一要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题、还是排列与组合混合问题；第二要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理，做到不重不漏；第三要计算正确．下面将通过对若干例题的分析，探讨解答排列组合问题的一些常见策略，供大家参考．　　一、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略　　对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主元思想．　　例1：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　）　　A．24个　　B．30

2、个　　C．40个　　D．60个　　解：因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：①当0排在末尾时，有个；②当0不排在末尾时，三位偶数有个，据加法原理，其中偶数共有+＝30个，选B．　　若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用集合的思想来考虑．这里仅举以下几例．　　(1)无关型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集)　　例2：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?　　解：由题意可知，两个特殊位置在首位和末位，特殊元素

3、是“0，首位可取元素的集合A＝{1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B＝{0}，A∩B＝．如图1所示．　　末位上有种排法，首位上有种不同排法，其余位置有种不同排法．所以，组成的符合题意的六位数是＝120(个)．　　说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素是无关的．先分别求出两个特殊位置上的排列数(不需考虑顺序)，再求出其余位置上的排列数，最后利用乘法原理，问题即可得到解决．　　(2)包合型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系)　　例3：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?　　解：由题意可知，首位、末位是

4、两个特殊位置，“0”是特殊元素，首位可取元素的集合A＝{1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B＝{5}，BA，用图2表示。　　末位上只能取5，有种取法，首位上虽然有五个元素可取但元素5已经排在末位了，故只有种不同取法，其余四个位置上有种不同排法，所以组成的符合题意的六位数有＝96(个)．　　说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素组成的集合具有包含关系，先求被包合的集合中的元素在特殊位置上的排列数，再求另一个位置上的排列数，次求其它位置上排列数，最后利用乘法原理，问题就可解决．　　(3)影响型(两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的．这类题型在高考

5、中比较常见．)　　例4：用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?　　解：由题意可知，首位和百位是两个特殊位置，“3”是特殊元素．首位上可取元素的集合A＝{2，3，4，5}，百位上可取元素的集合B＝{1，2，4，5}．用图3表示．　　从图中可以看出，影响型可分成无关型和包含型．①首先考虑首位是3的五位数共有：个；②再考虑首位上不是3的五位数，由于要比20000大，∴首位上应该是2、4、5中的任一个，种选择；其次3应排在千位、十位与个位三个位置中的某一个上，种选择，最后还有三个数、三个位置，有种排法，于是首

6、位上不是3的大于20000的五位数共有个．　　综上①②，知满足题设条件的五位数共有：+＝78个．　　二、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略　　解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步，做到分类标准明确、分步层次清楚，不重不漏．　　例5：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个．　　简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步．先在4条平行线中任取两条，有种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有种取法．这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共

7、有·＝60个．　　例6：在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?　　解：依题意，共线的三点组可分为三类：两端点皆为顶点的共线三点组共有＝28(个)；两端点皆为面的中心的共线三点组共有＝3(个)；两端点皆为各棱中点的共线三点组共有＝18(个)．　　所以总共有28+3+18＝49个．　　例7：某种产品有4只次品和6只正品(每只产品均可区分)．每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种?　　解：先考虑第五次测试的产品有4种情况，在前四次测试中包含其余的3只次品和1