解排列组合问题的十六种常用策略

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1、解排列组合问题的十六种常用策略三.特殊元素和特殊位置优先策略四.相邻元素捆绑策略五.不相邻问题插空策略六.定序问题空位插入策略七.重排问题求幂策略八.多排问题直排策略九.排列组合混合问题先选后排策略十.小集团问题先整体后局部策略十一.元素相同问题隔板策略二.正难则反总体淘汰策略十二.平均分组问题除法策略一．合理分类与准确分步策略十三.构造模型策略十四.实际操作穷举策略十五.分解与合成策略十六.化归策略解排列组合问题的十六种常用策略一.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：10

2、演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌为标准进行分类.只会唱歌的5人中没有人选上唱歌共有____种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌________种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌有____种，由分类计数原理共有______________________种。++本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分

3、类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习题例：3成人2小孩乘船游玩,A号船最多乘3人,B号船最多乘2人,C号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.首先人数可以有以下分配A3,B2,C0；A3,B1,C1；A2,B2,C1分情况讨论A3,B2,C0所有可能减去小孩独乘的可能(只有一种就是两个小孩都在B上)种乘法A2,B2,C1首先A、B、C上肯定都有一个大人，所以有种乘法A3,B1,C1BC上肯定都是一个大人，剩下一个大人和两个小孩乘A没得选：种乘法共计：9+6+12=27种乘座方法。二.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,

4、2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有____,只含有1个偶数的取法有_____,和为偶数的取法共有_________再淘汰和小于10的偶数共___________符合条件的取法共有___________9013015017035213215024413026+-9+有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.1.某班里有43位同学,

5、从中任抽3人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?练习题2.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_______三.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有___然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步计数原理得=2887种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？练习题四.相邻元素捆绑策略例2.7人站成

6、一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.五.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的

7、5个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法由分步计数原理,节目的不同顺序共有种相相独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）练习题某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（）六.定序问题空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共