第17讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

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1、第17讲　任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，

2、α

3、＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧

4、度．⑤弧长公式：l＝

5、α

6、r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝

7、α

8、r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝

9、MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α8的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x轴上的角的集合{β

10、β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，

11、OP

12、＝r一定是正值．(

13、2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．一例题1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)．A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)82．若α＝k·180°＋4

14、5°(k∈Z)，则α在(　　)．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是(　　)．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cosα的值为(　　)．A．－B.C．－D．－5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.　角的集合表示及象限角的判定6(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)

15、内终边与角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．7角α与角β的终边互为反向延长线，则(　　)．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)三角函数的定义8已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．9(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)．A．－B．－C.D.8弧度制的应用10已知半径为10的圆O中，弦AB的长为

16、10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.11已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？三角函数线及其应用12在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥；　(2)cosα≤－.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公共的部分；(4)写出角的表达式．13求下列函数的定义域：(1)y＝；　(2)y＝lg(3－4sin2x)．14(本题满分12

17、分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．15已知角α